Convergenza [tex]\frac{x^{2}}{x^{\alpha}}[/tex]

[koloko]

Sto studiando la convergenza degli integrali. In particolare ho un esercizio per $x->0$ dove alla fine mi trovo
[tex]\frac{x^{2}}{x^{\alpha}}[/tex]
Il mio ragionamento è
[tex]\frac{x^{2}}{x^{\alpha}}=x^{2-\alpha}[/tex]
allora qui avremo che se [tex]2-\alpha<0\Longrightarrow\alpha>2[/tex] allora la [tex]x[/tex] andrà al denominatore, perciò si avrà una cosa del tipo [tex]\frac{1}{x}=\infty[/tex]. Dunque la funzione diverge per [tex]\alpha>2[/tex] e converge per [tex]\alpha\leq2[/tex]
La soluzione ufficiale invece prevede
http://i.imgur.com/vgzEWyt.jpg

Dove sbaglio?

[quantunquemente]

per avere la divergenza dell'integrale non basta che la funzione a $0$ tenda all'infinito,ma deve essere un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$
quindi,si ha convergenza per $2-alpha> -1$

[Berationalgetreal]

viewtopic.php?f=36&t=157821 Da' un'occhiata qui.

Questo integrale in realtà equivale a

\[ \int_{0}^{1} \frac {1} {x^{\alpha -2}} \]

che quindi converge $ \iff \alpha -2 < 1 \implies \alpha < 3$.

[koloko]

"quantunquemente":per avere la divergenza dell'integrale non basta che la funzione a $0$ tenda all'infinito,ma deve essere un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$
quindi,si ha convergenza per $2-alpha> -1$

C'è un teorema in particolare per questa regola? Non riesco a trovarla

"Berationalgetreal":https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=157821 Da' un'occhiata qui.

Questo integrale in realtà equivale a

\[ \int_{0}^{1} \frac {1} {x^{\alpha -2}} \]

che quindi converge $ \iff \alpha -2 < 1 \implies \alpha < 3$.

Ottimo, messa così i conti mi tornano. Tuttavia ad un esame non saprei come assegnare correttamente gli estremi di integrazione

[Berationalgetreal]

Beh, quelli dipendono dall'integrale di partenza. Scrivi gli estremi dell'integrale e vediamo.

[koloko]

Gli estremi sono da zero a più infinito