Convergenza sul bordo
Un saluto a tutti i forumisti.
Consideriamo una successione ${a_n}$ di numeri positivi che converge a zero in maniera monotona e la serie di potenze (complesse) $\sum_{k=1}^\infty a_n z^n$. Supponiamo che il raggio di convergenza di questa serie sia $R=1$.
In realtà si può dimostrare che questa serie converge anche sul bordo del disco unitario del piano complesso, eccetto al più nel punto $1$.
Ora supponiamo che il raggio di convergenza della serie sia $R>1$. Sia quindi $D$ il disco di raggio $R$. Mi chiedo, questa proprietà di convergenza su $\partial D -{R}$ continua a valere? Io direi intuitivamente di no, perché mi è impossibile replicare la dimostrazione precedente per $R>1$, anche se ovviamente questo è solo un piccolo campanello di allarme e non una motivazione razionale. Ho provato quindi a cercare un controesempio, cioè una serie $\sum_{k=1}^\infty a_n z^n$ (con ${a_n}$ che soddisfa sempre quelle condizioni iniziali) che abbia raggio di convergenza $R>1$, ma che non sia convergente su un particolare punto del bordo. Non posso prendere $z=R$ perché viene escluso inizialmente dall'esercizio e neanche $z=-1$ perché ottengo la convergenza tramite il criterio di Leibniz. Altre prove non sono state soddisfacenti.
Qualcuno ha qualche idea? O sa se la proprietà continua a valere anche per $R>1$?
Grazie.
Consideriamo una successione ${a_n}$ di numeri positivi che converge a zero in maniera monotona e la serie di potenze (complesse) $\sum_{k=1}^\infty a_n z^n$. Supponiamo che il raggio di convergenza di questa serie sia $R=1$.
In realtà si può dimostrare che questa serie converge anche sul bordo del disco unitario del piano complesso, eccetto al più nel punto $1$.
Ora supponiamo che il raggio di convergenza della serie sia $R>1$. Sia quindi $D$ il disco di raggio $R$. Mi chiedo, questa proprietà di convergenza su $\partial D -{R}$ continua a valere? Io direi intuitivamente di no, perché mi è impossibile replicare la dimostrazione precedente per $R>1$, anche se ovviamente questo è solo un piccolo campanello di allarme e non una motivazione razionale. Ho provato quindi a cercare un controesempio, cioè una serie $\sum_{k=1}^\infty a_n z^n$ (con ${a_n}$ che soddisfa sempre quelle condizioni iniziali) che abbia raggio di convergenza $R>1$, ma che non sia convergente su un particolare punto del bordo. Non posso prendere $z=R$ perché viene escluso inizialmente dall'esercizio e neanche $z=-1$ perché ottengo la convergenza tramite il criterio di Leibniz. Altre prove non sono state soddisfacenti.
Qualcuno ha qualche idea? O sa se la proprietà continua a valere anche per $R>1$?
Grazie.
Risposte
Esercizio risolto. Trovato il controesempio. 
Quale?
${frac{1}{2^n}}$ converge a 0 in maniera monotona.
$\sum_{k=1}^\infty frac{1}{2^n}z^n$ ha raggio di convergenza $R=2$ per il criterio della radice.
Prendo $z=2i$ che appartiene al bordo del disco di raggio $2$.
$\sum_{k=1}^\infty frac{1}{2^n} (2i)^n$=$\sum_{k=1}^\infty (frac{2i}{2))^n$=$\sum_{k=1}^\infty (i)^n$=$\sum_{k=1}^\infty (-1)^n +i\sum_{k=1}^\infty (-1)^n$, che non converge, perché è oscillante.
$\sum_{k=1}^\infty frac{1}{2^n}z^n$ ha raggio di convergenza $R=2$ per il criterio della radice.
Prendo $z=2i$ che appartiene al bordo del disco di raggio $2$.
$\sum_{k=1}^\infty frac{1}{2^n} (2i)^n$=$\sum_{k=1}^\infty (frac{2i}{2))^n$=$\sum_{k=1}^\infty (i)^n$=$\sum_{k=1}^\infty (-1)^n +i\sum_{k=1}^\infty (-1)^n$, che non converge, perché è oscillante.
"Newdementia":
$\sum_{k=1}^\infty frac{1}{2^n}z^n$ ha raggio di convergenza $R=2$ per il criterio della radice.
Prendo $z=2i$ che appartiene al bordo del disco di raggio $2$.
Se può essere utile, questa serie non converge in nessun punto del bordo del disco di convergenza; infatti, se \(|z| = 2\), il modulo del termine generale della serie vale costantemente \(1\), dunque la serie non è convergente.
In generale, puoi passare dalla serie \(\sum \frac{1}{R^n} z^n\) (con \(R > 0\)) alla serie \(\sum w^n\) col cambio di variabile \(w = z/R\).
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