Convergenza successioni di funzioni simili: differenze?
Salve a tutti,
Ogni tanto qualche piccolo problema mi attanaglia e non vorrei lasciarlo perdere, quindi chiedo a voi un chiarimento per capire bene la seguente cosa.
Sto studiando la convergenza puntuale e uniforme di due successioni di funzioni molto simili, solo che differiscono per quanto riguarda l'intervallo in cui sono definite.
Per quanto riguarda la prima non ci sono problemi, penso di averla capita, ed eccola:
$f_n(x)={(n,if x\in(0,1/n)),(0,if x\in[1/n,1)):}$
$n\geq 2$
$I=(0,1)$
1) Convergenza puntuale in A=(0,1)?
Fissato $x$:
$\lim_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)=0$ ($f(x)=0$ $AA x \in(0,1)$)
Quindi la successione converge puntualmente a 0 in A.
2) Convergenza uniforme in A?
fissato $n$:
${::}_(\ x\in(0,1))^"sup"|f_n(x)-0|=n$ $AA n\in NN$
(scusate non ho trovato modo migliore per scrivere il sup (estremo superiore)).
$\lim_{n \to \infty}n=\infty rArr$ NO Convergenza uniforme.
Allora cerco un sottoinsieme di A in cui ci sia convergenza uniforme.
Scelgo un $0<\alpha<1$ arbitrario, ma con $\alpha>1/n$ e quindi ho l'intervallo $(\alpha,1)$.
Quindi ho:
${::}_(\ x\in(\alpha,1))^"sup"|f_n(x)|=0$ $AA n: 1/n<\alpha$
Allora
$\lim_{n \to \infty}0=0 rArr$ Convergenza uniforme in $(\alpha,1)$.
Ora dovrei fare la stessa cosa solo che l'intervallo I è [0,1) quindi con lo 0 incluso questa volta.
In pratica quì la successione non dovrebbe convergere in 0. (Ce l'ho scritto sugli appunti ma non capisco bene questa affermazione, o meglio, perché).
Adesso vorrei capire quali sono le differenze con la precedente successione che però è definita in (0,1).
Grazie in anticipo.
Ogni tanto qualche piccolo problema mi attanaglia e non vorrei lasciarlo perdere, quindi chiedo a voi un chiarimento per capire bene la seguente cosa.
Sto studiando la convergenza puntuale e uniforme di due successioni di funzioni molto simili, solo che differiscono per quanto riguarda l'intervallo in cui sono definite.
Per quanto riguarda la prima non ci sono problemi, penso di averla capita, ed eccola:
$f_n(x)={(n,if x\in(0,1/n)),(0,if x\in[1/n,1)):}$
$n\geq 2$
$I=(0,1)$
1) Convergenza puntuale in A=(0,1)?
Fissato $x$:
$\lim_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)=0$ ($f(x)=0$ $AA x \in(0,1)$)
Quindi la successione converge puntualmente a 0 in A.
2) Convergenza uniforme in A?
fissato $n$:
${::}_(\ x\in(0,1))^"sup"|f_n(x)-0|=n$ $AA n\in NN$
(scusate non ho trovato modo migliore per scrivere il sup (estremo superiore)).
$\lim_{n \to \infty}n=\infty rArr$ NO Convergenza uniforme.
Allora cerco un sottoinsieme di A in cui ci sia convergenza uniforme.
Scelgo un $0<\alpha<1$ arbitrario, ma con $\alpha>1/n$ e quindi ho l'intervallo $(\alpha,1)$.
Quindi ho:
${::}_(\ x\in(\alpha,1))^"sup"|f_n(x)|=0$ $AA n: 1/n<\alpha$
Allora
$\lim_{n \to \infty}0=0 rArr$ Convergenza uniforme in $(\alpha,1)$.
Ora dovrei fare la stessa cosa solo che l'intervallo I è [0,1) quindi con lo 0 incluso questa volta.
In pratica quì la successione non dovrebbe convergere in 0. (Ce l'ho scritto sugli appunti ma non capisco bene questa affermazione, o meglio, perché).
Adesso vorrei capire quali sono le differenze con la precedente successione che però è definita in (0,1).
Grazie in anticipo.
Risposte
Prendo per buono che la nuova successione $f_n$ sia definita così:
$f_n(x):=\{(n, ", se " 0<=x<1/n),(0, ", se " 1/n<=x<1):}$
In tal caso l'unico probelma è che $lim_n f_n(0)=lim_n n=+oo$, quindi la tua successione non è puntualmente convergente in tutto $[0,1[$ (mentre di fatto continua a convergere, solo puntualmente, a $0$ in $]0,1[$).
$f_n(x):=\{(n, ", se " 0<=x<1/n),(0, ", se " 1/n<=x<1):}$
In tal caso l'unico probelma è che $lim_n f_n(0)=lim_n n=+oo$, quindi la tua successione non è puntualmente convergente in tutto $[0,1[$ (mentre di fatto continua a convergere, solo puntualmente, a $0$ in $]0,1[$).
Grazie mille per la risposta e per l'aiuto.
Dunque, credo di essere sulla strada giusta per capire.. la nuova $f_n$ che hai scritto è corretta.
Tornando un attimo a quella di prima, ora mi sfugge il motivo per cui $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)=0$.
Dunque se fisso $x$, come faccio a dire che il limite vale 0?
Poi torniamo al problema della nuova successione.
EDIT: mannaggia che testa che ho.. dunque il limite fa 0 poiché per n che va all'infinito la zona della f dove vale n si contrae... (Ogni tanto ho dei vuoti.. menomale che poi mi ritornano in mente le cose)
Dunque, credo di essere sulla strada giusta per capire.. la nuova $f_n$ che hai scritto è corretta.
Tornando un attimo a quella di prima, ora mi sfugge il motivo per cui $\lim_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)=0$.
Dunque se fisso $x$, come faccio a dire che il limite vale 0?
Poi torniamo al problema della nuova successione.
EDIT: mannaggia che testa che ho.. dunque il limite fa 0 poiché per n che va all'infinito la zona della f dove vale n si contrae... (Ogni tanto ho dei vuoti.. menomale che poi mi ritornano in mente le cose)
Perfetto.. E' tutto chiarissimo ora che ci ho rilettuto bene e che ho riletto la tua risposta.
Grazie di cuore.
Grazie di cuore.
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