Convergenza successioni di funzioni
Salve a tutti, sto svolgendo alcuni esercizi sulla determinazione della convergenza puntuale ed uniforme relativa ad alcune successioni di funzioni.
Ho un dubbio da risolvere relativo alla restrizione dell'intervallo di convergenza, vi spiego meglio mostrandovi le successioni "incriminate".
La prima è:
$ log(1 + 1/(n(x-1))) $ da studiare nell'intervallo $ ]1, +oo[ $
Le funzioni convergono puntualmente nell'intervallo alla funzione $ f(x) = 0 $.
Per $ x-> 1 $ però, la differenza $ f_n(x) - f(x) $ non è limitata.
Si può affermare che l'intervallo di convergenza uniforme della successione è $ [a, +oo[ $, con a > 1?
Ho un dubbio abbastanza simile su questa seconda successione:
$ (sqrt(2e) * x/(e^(x^2)))^n $
Le funzioni convergono puntualmente in tutto $ R $ (tranne $ sqrt(2) / 2 $ e $ - sqrt(2) / 2 $) alla funzione $ f(x) = 0 $.
L'estremo superiore della differenza $ f_n(x) - f(x) $ è 1, assunto proprio in quei due punti dove la successione non converge puntualmente.
Si può affermare che l'intervallo di convergenza uniforme della successione è $ ]-oo, a] U [b, +oo[ $ con $ a < -sqrt(2)/2 $ e $ b < sqrt(2) / 2 $?
Ho un dubbio da risolvere relativo alla restrizione dell'intervallo di convergenza, vi spiego meglio mostrandovi le successioni "incriminate".
La prima è:
$ log(1 + 1/(n(x-1))) $ da studiare nell'intervallo $ ]1, +oo[ $
Le funzioni convergono puntualmente nell'intervallo alla funzione $ f(x) = 0 $.
Per $ x-> 1 $ però, la differenza $ f_n(x) - f(x) $ non è limitata.
Si può affermare che l'intervallo di convergenza uniforme della successione è $ [a, +oo[ $, con a > 1?
Ho un dubbio abbastanza simile su questa seconda successione:
$ (sqrt(2e) * x/(e^(x^2)))^n $
Le funzioni convergono puntualmente in tutto $ R $ (tranne $ sqrt(2) / 2 $ e $ - sqrt(2) / 2 $) alla funzione $ f(x) = 0 $.
L'estremo superiore della differenza $ f_n(x) - f(x) $ è 1, assunto proprio in quei due punti dove la successione non converge puntualmente.
Si può affermare che l'intervallo di convergenza uniforme della successione è $ ]-oo, a] U [b, +oo[ $ con $ a < -sqrt(2)/2 $ e $ b < sqrt(2) / 2 $?
Risposte
Per la prima, va bene, perché la funzione non è limitata in un intorno di $1$, ma prendendo un intervallo del tipo descritto, escludendo quindi un intorno di $1$, ottieni una funzione limitata, decrescente. Perciò [tex]$sup_{x \in [a,+\infty]} |f_n(x)| = f_n(a) \stackrel{n \to + \infty}{\to} 0$[/tex].
Per il secondo punto, hai controllato che la funzione $f(x)= \sqrt(2e) x/e^{x^2}$ abbia $\pm \sqrt(2)/2$ come punti di massimo assoluto? Se vale questo, il resto è corretto; puoi risolvere in analogia al caso precedente.
(Immagino tu intendessi $b>\sqrt(2)/2$, vero?)
Se non sbaglio, c'è convergenza uniforme anche in ogni compatto propriamente contenuto in $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, oltre agli intervalli da te indicati.
Per il secondo punto, hai controllato che la funzione $f(x)= \sqrt(2e) x/e^{x^2}$ abbia $\pm \sqrt(2)/2$ come punti di massimo assoluto? Se vale questo, il resto è corretto; puoi risolvere in analogia al caso precedente.
(Immagino tu intendessi $b>\sqrt(2)/2$, vero?)
Se non sbaglio, c'è convergenza uniforme anche in ogni compatto propriamente contenuto in $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, oltre agli intervalli da te indicati.
"Antimius":
Per la prima, va bene, perché la funzione non è limitata in un intorno di $1$, ma prendendo un intervallo del tipo descritto, escludendo quindi un intorno di $1$, ottieni una funzione limitata, decrescente. Perciò [tex]$sup_{x \in [a,+\infty]} |f_n(x)| = f_n(a) \stackrel{n \to + \infty}{\to} 0$[/tex].
Per il secondo punto, hai controllato che la funzione $f(x)= \sqrt(2e) x/e^{x^2}$ abbia $\pm \sqrt(2)/2$ come punti di massimo assoluto? Se vale questo, il resto è corretto; puoi risolvere in analogia al caso precedente.
(Immagino tu intendessi $b>\sqrt(2)/2$, vero?)
Se non sbaglio, c'è convergenza uniforme anche in ogni compatto propriamente contenuto in $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$, oltre agli intervalli da te indicati.
Ti ringrazio per la pronta risposta
Cmq si, intendevo per $ b > sqrt(2) / 2 $. E avevo dimenticato di segnare quell'altro intervallo $ [c, d] $, con $ c > -sqrt(2)/2 $ e $ d < sqrt(2) / 2 $.
Le funzioni (in valore assoluto) assumono massimo assoluto in $ sqrt(2) / 2 $ per ogni n e in $ -sqrt(2) / 2 $ per n pari.
Grazie ancora!
Piccola correzione: la seconda successione, per $ x = sqrt(2) / 2 $ converge puntualmente ad 1.
Di convergenza uniforme non se ne può parlare perché la convergenza puntuale è in unico punto. Giusto?
Di convergenza uniforme non se ne può parlare perché la convergenza puntuale è in unico punto. Giusto?
La convergenza puntuale vale punto per punto, certo, se è questo che intendevi. Invece quella uniforme vale "globalmente" su intervallo considerato, quindi non puoi considerarla solo per $x=\sqrt(2)/2$. In ogni caso, gli intervalli della convergenza uniforme rimangono gli stessi, perché se non escludessi un intorno di $\sqrt(2)/2$, avresti $1$ come estremo superiore $\forall n$, che naturalmente non converge a $0$.
Scusate ma perchè non si dovrebbe poter parlare di convergenza uniforme anche nell'intervallo $[c,d]$ con $c>(-1/sqrt(2)), d<1/sqrt(2)$? Dopotutto quella funzione non supera mai $1$ in modulo, quindi con $n->+oo$ gli unici due punti in cui il $Sup_( x!= pm 1/sqrt(2))|sqrt(2e)x/e^(x^2)|$ non va a $0$ con $n->+oo$ sono proprio quei due punti esclusi dall'insieme di convergenza puntuale.
"Giuly19":
Scusate ma perchè non si dovrebbe poter parlare di convergenza uniforme anche nell'intervallo $[c,d]$ con $c>(-1/sqrt(2)), d<1/sqrt(2)$? Dopotutto quella funzione non supera mai $1$ in modulo, quindi con $n->+oo$ gli unici due punti in cui il $Sup_( x!= pm 1/sqrt(2))|sqrt(2e)x/e^(x^2)|$ non va a $0$ con $n->+oo$ sono proprio quei due punti esclusi dall'insieme di convergenza puntuale.
Infatti l'abbiamo scritto
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