Convergenza successioni di funzioni
Salve a tutti ragazzi, scusate, ma ho un dubbio su un esercizio di questo tipo:
Ho una successione \(\displaystyle f_{n} \) definita nell'intervallo (0,1) definita dalla seguente legge:
\(\displaystyle f_{n} \) = \begin{cases}
\alpha & (0,\frac{1}{n}]\\
\beta & (\frac{1}{n},1)\end{cases}
Il testo chiede di trovare il limite puntuale della successione di funzioni. In questo non c'è problema, e si vede che è \(\displaystyle beta \).
Il problema è vedere per quali valori dei due parametri reali ho anche la convergenza uniforme.
Il testo scrive:
\(\displaystyle lim_{n\rightarrow\infty}sup_{x\in(0,1)}|f_{n}-\beta|=sup_{x\in(0,1)}|\alpha-\beta| \)
Ma perchè si è sostituito \(\displaystyle f_{n} \) con \(\displaystyle alpha \) ??
Sapete darmi una risposta?
Grazie molte.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Ho una successione \(\displaystyle f_{n} \) definita nell'intervallo (0,1) definita dalla seguente legge:
\(\displaystyle f_{n} \) = \begin{cases}
\alpha & (0,\frac{1}{n}]\\
\beta & (\frac{1}{n},1)\end{cases}
Il testo chiede di trovare il limite puntuale della successione di funzioni. In questo non c'è problema, e si vede che è \(\displaystyle beta \).
Il problema è vedere per quali valori dei due parametri reali ho anche la convergenza uniforme.
Il testo scrive:
\(\displaystyle lim_{n\rightarrow\infty}sup_{x\in(0,1)}|f_{n}-\beta|=sup_{x\in(0,1)}|\alpha-\beta| \)
Ma perchè si è sostituito \(\displaystyle f_{n} \) con \(\displaystyle alpha \) ??
Sapete darmi una risposta?
Grazie molte.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
Ripartiamo dalla definizione di convergenza uniforme (la adatto da wiki, fa lo stesso).
Per $x\in I\subseteq \RR$, $f_n (x)$ converge uniformemente alla funzione $f$ in $I$ se la successione $a_n = $sup$_(x\in I) |f_(n) - f(x)|$ è ben definita (per $n$ sufficientemente grande) e $lim_(n->\infty) a_n -> 0$.
Ora, ci si chiede, che significa quella definizione? O, per lo meno, come si attua in pratica?
Detto alla buona, vuol dire che, per ogni $n$, la successione definita dalla massima ($^1$) distanza di $f_n$ da $f$ nell'intervallo tende a zero per $n->\infty$ (per ogni $x\in I$).
Verifichiamo se vale questa proprietà.
Per $n$ fissato, sai che $f_n (x)$ vale $\alpha$ per $x\in (0,1/n]$ mentre vale $\beta$ per $x\in (1/n , 1)$ e questo lo sai meglio di me
.
Il limite (puntuale) di tale successione è $f(x)=\beta$ dunque ti chiedi: qual è la distanza di $f_n$ da $f$?
La distanza è $|f_n (x) - \beta|$ e fino a qui tutto ok.
Il massimo di tale distanza in quell'intervallo si ha per $x\in (0,1/n ]$, per questo si è posto $|\alpha - \beta|$.
In altre parole, qual è il massimo di $a_n = |f_n (x) - f(x)|$ nell'intervallo?
In questo caso possiamo controllarlo direttamente in quanto:
- per $x\in (0, 1/n ]$ abbiamo $a_n = |f_n (x) -f(x)| = |\alpha - \beta |$;
- per $x\in (1/n , 1]$ abbiamo $a_n = |f_n (x) -f(x)| = |\beta -\beta |=0$.
In questo intervallo, dunque il sup è $|\alpha - \beta|$ (nell'altro caso tale distanza è zero, questa - alla peggio - è anch'essa uguale a zero ma non è detto poiché dipende dai parametri).
____________
($^1$) Detto alla buona davvero: l'estremo superiore e il massimo possono essere due cose differenti (non dovrebbe essere questo il caso).
Per $x\in I\subseteq \RR$, $f_n (x)$ converge uniformemente alla funzione $f$ in $I$ se la successione $a_n = $sup$_(x\in I) |f_(n) - f(x)|$ è ben definita (per $n$ sufficientemente grande) e $lim_(n->\infty) a_n -> 0$.
Ora, ci si chiede, che significa quella definizione? O, per lo meno, come si attua in pratica?
Detto alla buona, vuol dire che, per ogni $n$, la successione definita dalla massima ($^1$) distanza di $f_n$ da $f$ nell'intervallo tende a zero per $n->\infty$ (per ogni $x\in I$).
Verifichiamo se vale questa proprietà.
Per $n$ fissato, sai che $f_n (x)$ vale $\alpha$ per $x\in (0,1/n]$ mentre vale $\beta$ per $x\in (1/n , 1)$ e questo lo sai meglio di me
.Il limite (puntuale) di tale successione è $f(x)=\beta$ dunque ti chiedi: qual è la distanza di $f_n$ da $f$?
La distanza è $|f_n (x) - \beta|$ e fino a qui tutto ok.
Il massimo di tale distanza in quell'intervallo si ha per $x\in (0,1/n ]$, per questo si è posto $|\alpha - \beta|$.
In altre parole, qual è il massimo di $a_n = |f_n (x) - f(x)|$ nell'intervallo?
In questo caso possiamo controllarlo direttamente in quanto:
- per $x\in (0, 1/n ]$ abbiamo $a_n = |f_n (x) -f(x)| = |\alpha - \beta |$;
- per $x\in (1/n , 1]$ abbiamo $a_n = |f_n (x) -f(x)| = |\beta -\beta |=0$.
In questo intervallo, dunque il sup è $|\alpha - \beta|$ (nell'altro caso tale distanza è zero, questa - alla peggio - è anch'essa uguale a zero ma non è detto poiché dipende dai parametri).
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($^1$) Detto alla buona davvero: l'estremo superiore e il massimo possono essere due cose differenti (non dovrebbe essere questo il caso).
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