Convergenza successione funzioni misurabili
Ciao a tutti...volevo porvi il seguente quesito:
Dato \(\Omega\) un'insieme con una \(\sigma\)-algebra \(\mathcal{A}\), sia \((X_n)_{n}\) una successione di funzioni semplici e misurabili a valori in \([0,1]\) e supponiamo che \(X_n\uparrow X\) puntualmente.
E' vero che \(\lim_n \inf(X_n(\Omega))\) converge a \(\inf X(\Omega)\)?
A me la dimostrazione non riesce e credo che questa affermazione non sia vera, però non riesco a trovare un controesempio...
qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille in anticipo a tutti!
Buona settimana
Luca
Dato \(\Omega\) un'insieme con una \(\sigma\)-algebra \(\mathcal{A}\), sia \((X_n)_{n}\) una successione di funzioni semplici e misurabili a valori in \([0,1]\) e supponiamo che \(X_n\uparrow X\) puntualmente.
E' vero che \(\lim_n \inf(X_n(\Omega))\) converge a \(\inf X(\Omega)\)?
A me la dimostrazione non riesce e credo che questa affermazione non sia vera, però non riesco a trovare un controesempio...
qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille in anticipo a tutti!
Buona settimana
Luca
Risposte
Puoi usare il teorema di convergenza monotona.
Ciao Rigel, grazie della risposta...
in realtà, dall'essere la successione in questione monotona, essa ammette limite ma, secondo me, si può sodo dire che \(lim_n \inf(X_n(\Omega))\leq\inf(X(\Omega))\), l'uguaglianza, in generale, non mi sembra vera (anche se, come dicevo, non riesco a trovare un controesempio...)
PS per teorema di convergenza monotona intendi che se \((x_n)_n\) è una successione crescente, allora \(\lim_n x_n=\sup_n x_n\)?
in realtà, dall'essere la successione in questione monotona, essa ammette limite ma, secondo me, si può sodo dire che \(lim_n \inf(X_n(\Omega))\leq\inf(X(\Omega))\), l'uguaglianza, in generale, non mi sembra vera (anche se, come dicevo, non riesco a trovare un controesempio...)
PS per teorema di convergenza monotona intendi che se \((x_n)_n\) è una successione crescente, allora \(\lim_n x_n=\sup_n x_n\)?
Non avevo letto quegli "inf", e avevo interpretato le $X_n$ come misure (avendo visto $X_n(\Omega)$).
Rileggendo più attentamente, suppongo che la domanda riguardi l'uguaglianza
\[ \lim_n\left( \inf_{x\in\Omega} X_n(x)\right) = \inf_{x\in\Omega} X(x) .\]
E' così?
Rileggendo più attentamente, suppongo che la domanda riguardi l'uguaglianza
\[ \lim_n\left( \inf_{x\in\Omega} X_n(x)\right) = \inf_{x\in\Omega} X(x) .\]
E' così?
Esatto, è proprio così, io ho usato quelle notazioni, forse un po' infelici (è necessario che le cambi?)...
Cosa ne pensi del problema?
Cosa ne pensi del problema?
Senza ulteriori ipotesi hai ragione: ti basta prendere $\Omega = (0,1)$, $X \equiv 1$ e $X_n$ la funzione caratteristica di $[1/n, 1-1/n]$.
Grazie mille, posso prendere anche \(\Omega=[0,1]\) giusto? Giusto perchè in probabilità nella notazione usata nel mio corso, prendevamo sempre gli estremi....
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Se prendi $[0,1]$ devi però definire le $X_n$ uguali a $1$ in $0$ e $1$, altrimenti non hai la convergenza puntuale ovunque.
E' vero, grazie ancora...
Buona giornata
Buona giornata
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