Convergenza successione di funzioni?
Io so che data una successione di funzioni $f_n(x)$ essa converge se il $lim(n->+oo) f_n(x)=L$
con L finito,fin qui ci dovrei essere,ditemi se sbaglio qualcosa
Ora io ho il seguente esercizio:
Determinare l'insieme di convergenza puntuale e la funzione limite della successione di funzioni:
$f_n(x)=[(cosx)^n+2]/[2+x^(2n)]$
quindi dovrei studiare il limite:
$lim(n->+oo) f_n(x)$
e vedere per quali valori di x tale limite esce finito
ma mi sembra difficile e non so come studiarlo,mi date qualche dritta?
con L finito,fin qui ci dovrei essere,ditemi se sbaglio qualcosa
Ora io ho il seguente esercizio:
Determinare l'insieme di convergenza puntuale e la funzione limite della successione di funzioni:
$f_n(x)=[(cosx)^n+2]/[2+x^(2n)]$
quindi dovrei studiare il limite:
$lim(n->+oo) f_n(x)$
e vedere per quali valori di x tale limite esce finito
ma mi sembra difficile e non so come studiarlo,mi date qualche dritta?
Risposte
Visto che sono abbonato con l'ora tarda, eccoti una dritta. A numeratore il coseno assume tutti e solo i valori in $[-1,1]$, come si comporta la potenza ennesima di un numero reale compreso in quell'intervallo quando fai tendere $n$ a infinito? E soprattutto, agli estremi come si comporta? per quali valori di $x$ il coseno assume il valore $-1$? esiste il limite lì? Tieni presente che comunque in quei punti devi valutare il denominatore.
A denominatore hai invece la potenza ennesima di $x^2$, per quali valori di $x$ il limite di questa potenza, sempre al tendere di $n$ a infinito, è finito? e quando $+oo$?
A denominatore hai invece la potenza ennesima di $x^2$, per quali valori di $x$ il limite di questa potenza, sempre al tendere di $n$ a infinito, è finito? e quando $+oo$?
dimmi se sbaglio:
a)oscillando il coseno tra $[-1,1]$ elevando tali valori a n quindi a infinito,passando al limite,si avranno oscillazioni nello stesso intervallo prima citato,quindi assume sempre valori tra $[-1,1]$,cos(x)=-1 in $pi+2k*pi$,bè in tali punti il limite non esiste nel campo reale
b)al denominatore convergerà se $0
a)oscillando il coseno tra $[-1,1]$ elevando tali valori a n quindi a infinito,passando al limite,si avranno oscillazioni nello stesso intervallo prima citato,quindi assume sempre valori tra $[-1,1]$,cos(x)=-1 in $pi+2k*pi$,bè in tali punti il limite non esiste nel campo reale
b)al denominatore convergerà se $0
Nei punti in cui $|cos(x)| < 1$ il limite della potenza ennesima del coseno, è $0$. Quando $cos(x)=1$ il limite è $1$ e quando $cos(x) = -1$ il limite della sua potenza ennemesima non esiste, perchè assume i valori $1$ per $n$ pari e $-1$ per $n$ dispari.
In ogni caso a numeratore hai valori limitati, mentre a denominatore per $|x| > 1$ la potenza ennesima va a $+oo$, quindi la successione di funzioni tende a $0$ in quei punti.
Ti rimane da vedere il comportamento per $|x| <=1$.
Se vuoi un consiglio, studiati il comportamento di questo limite: $ lim_(n->oo) x^n$.
Ciao.
In ogni caso a numeratore hai valori limitati, mentre a denominatore per $|x| > 1$ la potenza ennesima va a $+oo$, quindi la successione di funzioni tende a $0$ in quei punti.
Ti rimane da vedere il comportamento per $|x| <=1$.
Se vuoi un consiglio, studiati il comportamento di questo limite: $ lim_(n->oo) x^n$.
Ciao.
scrivo qui in modo che se sbaglio tu mi possa correggere
dato il limite:
$lim x^n$
$n->+oo$
esso convergerà per:
$|x|<1$
e per:
$x=1$
divergerà per:
$x>1$
mentre sarà indeterminato per
$x<=-1$
è corretto?
PS. come fai a scrivere il limite per n tendente a qualcosa come l'hai scritto tu?
dato il limite:
$lim x^n$
$n->+oo$
esso convergerà per:
$|x|<1$
e per:
$x=1$
divergerà per:
$x>1$
mentre sarà indeterminato per
$x<=-1$
è corretto?
PS. come fai a scrivere il limite per n tendente a qualcosa come l'hai scritto tu?
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