Convergenza successione al numero di nepero
Sula falsa riga della seguente dimostrazione
Devo dimostrare che la successione $y_n=(1+1/n)^(n+1)$ è decrescente .
Quindi devo dimostrare che il rapporto di un termine fratto il suo precedente è minore uguale di 1.
Il problema è che nell'ultimo step (dopo aver applicato la disuguaglianza di bernoulli) non riesco ad ottenere l'1.
Ho seguito un primo ragionamento secondo cui:
$(y_n)/y_(n-1)=((1+1/n)^(n+1))/(1+1/(n-1))^(n+1-1) = ((1+1/n)^n * (1+1/n))/(1+1/(n-1))^n = [((n+1)/n)/(n/(n-1))]^n * ((n+1)/n) = [(n+1)/n * (n-1)/n]^n * (1/(n/(n+1))) = ((n^2-1)/n^2)^n *(1/(n/(n+1))) = [((n^2-1)/n^2)^n]/(n/(n+1)) = [(1-1/n^2 )^n]/(n/(n+1)) >= (1+n(-1/n^2))/(n/(n+1)) $
Devo dimostrare che la successione $y_n=(1+1/n)^(n+1)$ è decrescente .
Quindi devo dimostrare che il rapporto di un termine fratto il suo precedente è minore uguale di 1.
Il problema è che nell'ultimo step (dopo aver applicato la disuguaglianza di bernoulli) non riesco ad ottenere l'1.
Ho seguito un primo ragionamento secondo cui:
$(y_n)/y_(n-1)=((1+1/n)^(n+1))/(1+1/(n-1))^(n+1-1) = ((1+1/n)^n * (1+1/n))/(1+1/(n-1))^n = [((n+1)/n)/(n/(n-1))]^n * ((n+1)/n) = [(n+1)/n * (n-1)/n]^n * (1/(n/(n+1))) = ((n^2-1)/n^2)^n *(1/(n/(n+1))) = [((n^2-1)/n^2)^n]/(n/(n+1)) = [(1-1/n^2 )^n]/(n/(n+1)) >= (1+n(-1/n^2))/(n/(n+1)) $
Risposte
Ciao pepp1995,
A me risulta che la successione $a_n := (1 + 1/n)^n $ sia crescente, mentre la successione $y_n := (1 + 1/n)^{n + 1} $ sia decrescente: è del tutto logico che non puoi dimostrare la decrescenza di $y_n $ nello stesso modo in cui hai dimostrato la crescenza di $a_n$, anche perché l'idea è ottenere un $ < 1 $, non un $ > 1 $ altrimenti dimostreresti che $y_n $ è crescente invece di dimostrare che è decrescente...
Dai un'occhiata qui: https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/MatheMath/Giugno_04/medie.pdf
A me risulta che la successione $a_n := (1 + 1/n)^n $ sia crescente, mentre la successione $y_n := (1 + 1/n)^{n + 1} $ sia decrescente: è del tutto logico che non puoi dimostrare la decrescenza di $y_n $ nello stesso modo in cui hai dimostrato la crescenza di $a_n$, anche perché l'idea è ottenere un $ < 1 $, non un $ > 1 $ altrimenti dimostreresti che $y_n $ è crescente invece di dimostrare che è decrescente...
Dai un'occhiata qui: https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/MatheMath/Giugno_04/medie.pdf
Premessa: Grazie per la risposta =)
Ho letto il pdf , in particolare mi sono soffermato sul punto 8.
Il fatto è che si discosta da quello che è il procedimento ed il libro recita così:
In realtà sono riuscito a seguire un ragionamento simile , aggiungendo però una disuguaglianza in più :
$y_n/y_(n-1) = (1+1/n)^(n+1) / (1+1/(n-1))^n = (((n+1)/n)^n ((n+1)/n))/(n/(n-1))^n =[(((n+1)/n)/n)/(n-1)]^n * (1+1/n) = ((n+1)/n *(n-1)/n)^n * (1+1/n) = [((n+1)/n)*((n-1)/n)^n] * (1+1/n) = ((n^2-1)/n^2)^n * (1+1/n) = (1+1/n)/(n^2/(n^2-1))^n < (1+n/(n^2-1))/(n^2/(n^2-1))^n <= (1+1/(n^2-1))^n/((n^2/(n^2-1))^n] = ((n^2/(n^2-1))^n)/(n^2/(n^2-1))^n =1 $
Dove :
- la disuguaglianza col maggiore uguale non è altro che una disuguaglianza di Bernoulli ma letta da destra verso sinistra .
E vale perché $ x= 1/(n^2-1) $ è certamente un numero più grande di -1
La disuguaglianza che ho aggiunto e di cui non ho fondamento teorico (per intenderci l'ho trovata sul web ) è quella in cui maggioro $1+1/n$ con $1+n/(n^2-1) $ .
Il ragionamento che credo si faccia per ottenerla è considerare che
$ ((n+1)/n) < (n^2-1+n)/(n^2-1)$ , quindi $ (n+1)(n^2-1)<(n^2-1+n)(n)$ che equivale a dire che $ n^3+n^2-n-1 < n^3+n^2-n $
Può andare?
Ho letto il pdf , in particolare mi sono soffermato sul punto 8.
Il fatto è che si discosta da quello che è il procedimento ed il libro recita così:
In realtà sono riuscito a seguire un ragionamento simile , aggiungendo però una disuguaglianza in più :
$y_n/y_(n-1) = (1+1/n)^(n+1) / (1+1/(n-1))^n = (((n+1)/n)^n ((n+1)/n))/(n/(n-1))^n =[(((n+1)/n)/n)/(n-1)]^n * (1+1/n) = ((n+1)/n *(n-1)/n)^n * (1+1/n) = [((n+1)/n)*((n-1)/n)^n] * (1+1/n) = ((n^2-1)/n^2)^n * (1+1/n) = (1+1/n)/(n^2/(n^2-1))^n < (1+n/(n^2-1))/(n^2/(n^2-1))^n <= (1+1/(n^2-1))^n/((n^2/(n^2-1))^n] = ((n^2/(n^2-1))^n)/(n^2/(n^2-1))^n =1 $
Dove :
- la disuguaglianza col maggiore uguale non è altro che una disuguaglianza di Bernoulli ma letta da destra verso sinistra .
E vale perché $ x= 1/(n^2-1) $ è certamente un numero più grande di -1
La disuguaglianza che ho aggiunto e di cui non ho fondamento teorico (per intenderci l'ho trovata sul web ) è quella in cui maggioro $1+1/n$ con $1+n/(n^2-1) $ .
Il ragionamento che credo si faccia per ottenerla è considerare che
$ ((n+1)/n) < (n^2-1+n)/(n^2-1)$ , quindi $ (n+1)(n^2-1)<(n^2-1+n)(n)$ che equivale a dire che $ n^3+n^2-n-1 < n^3+n^2-n $
Può andare?
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