Convergenza successione

[mirko6768]

Ciao a tutti!
Ho un problema con la convergenza uniforme di questa successione $f(x)= n*arctan(4x/n)$

So che l'arcotangente per n che tende ad infinito si comporta come il suo argomento quindi per la convergenza puntuale non ho problemi a dire che converge a 4x con x appartenente ad R. Cosa cambia per la convergenza uniforme? Avrei detto la medesima cosa..

Grazie in anticipo!

[poll89]

Per la convergenza uniforme studi $text(sup)_(x in I) {n*arctan(4x/n) - 4x}$, se tende a zero per $n->+infty$ (come avviene...) allora hai convergenza uniforme. In questo caso ce l'hai $AAx in RR$, a volte potresti dover restringere il dominio. In quel caso hai convergenza uniforme in $I sub RR$.

[mirko6768]

Giuro poll che ho fatto tesoro dei tuoi ragguagli di ieri Difatti il mio ragionamento è stato simile al tuo, ora! Nondimeno il mio professore dice il contrario e cioè che questa successione converge sì puntualmente ma non uniformemente a 4x su R! How is that even possible?

[maximus241]

io vedo che la successione non può convergere uniformemente in R giacché, quando x = 0, allora converge puntualmente a 0, ma quando x è diverso da zero, allora converge puntualmente a 4x: ciò ti porta a dire che, sebbene le fn siano continue, la f in realtà non lo è, il che invalida la convergenza uniforme su R

(ragionamento ad occhio)

[poll89]

Ma se $f(x) := 4x$, allora $f(0) = 0$, quindi non ci sono discontinuità. Però è vero, non può essere uniformemente convergente perchè $f_n$ è limitata (banalmente è un arctan), mentre $f$ non lo è. In effetti sono stato frettoloso, $ text(sup)_(x in I) {n*arctan(4x/n) - 4x} = n*pi/2 - 4x ->_(n->+infty)+infty$

[mirko6768]

Grazie ad entrambi, credo di aver capito!

[maximus241]

"maximus24":io vedo che la successione non può convergere uniformemente in R giacché, quando x = 0, allora converge puntualmente a 0, ma quando x è diverso da zero, allora converge puntualmente a 4x: ciò ti porta a dire che, sebbene le fn siano limitate, la f in realtà non lo è, il che invalida la convergenza uniforme su R

(ragionamento ad occhio)

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