Convergenza - Spazi Lp

[leev]

È un po'che ci penso e non riesco a ritrovare la spiegazione...mannaggia, spero possiate colmare presto questa mia lacuna:

Se consideriamo uno spazio di misura finita (per esempio [0,1] in $RR$) abbiamo che $L^q\subseteq L^p$, per $p
Quindi mi verrebbe da credere che se una successione converge in $L^p$, converge anche in $L^q$.

Eppure ho qua un esempio di $(f_k)_{k\inNN}\in C([0,1])$ che converge rispetto alla $L^1$, ma non rispetto alla $L^2$.


Dove sbaglio?

[Fioravante Patrone1]

Non hai l'esempio. Credi di averlo.

Faccelo vedere, se ne hai il coraggio!

[elgiovo]

Se sei convinto di quello che dici, ovvero $p

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[leev]

l'esempio é il seguente:

$f_k(x)=(k-k^3)\chi_{[0,1/k^2]}(x)$

Converge a $0$ per la norma $L^1$ ($||f_k-0||_{L1}^2= 1/2 1/k$)
ma non per la norma $L^2$ ($||f_k-0||_{L2}^2= 1/3$)

[leev]

"elgiovo":Se sei convinto di quello che dici, ovvero $p
umz, efffettivamente..... temo tanto di aver sbagliato la disuguaglianza tra le norme nel primo post (e nei miei appunti mmm)
quindi sarebbe l'inverso, se converge nella $L^2$, converge nella $L^1$

si possono dire le parolacce?? ghhghghg

[Fioravante Patrone1]

Scusa, non capisco (seriamente) l'esempio.

Prendi la funzione caratteristica dell'intervallo da 0 a 1/k^2, e fin qui non ci piove.
Ma poi la moltiplichi per $k-k^3$? A che pro questa scelta?

[leev]

"Fioravante Patrone":Scusa, non capisco (seriamente) l'esempio.

Prendi la funzione caratteristica dell'intervallo da 0 a 1/k^2, e fin qui non ci piove.
Ma poi la moltiplichi per $k-k^3$? A che pro questa scelta?

az, ho dimenticato una $x$....sarebbe stato $k-k^3x$
così che la funzione rappresenta il segmento che va da (0,k) a (1/k^2,0).


vabbé, non é giornata...speriamo lo sia domani (esame!!!)

[Fioravante Patrone1]

Ok, adesso funge

In bocca al lupo!