Convergenza spazi lp
salve devo risolvere esercizi su convergenza di funzioni in spazi lp. qualcuno saprebbe indicarmi come procedere
gli esercizi sono del tipo
studiare la converenza in $ L^2(0,1) $ e in $ L^oo (0,1) $ della successione di funzioni
$ f_n(x)= (cos(nx)e^(-nx))/root(3)(x) $
gli esercizi sono del tipo
studiare la converenza in $ L^2(0,1) $ e in $ L^oo (0,1) $ della successione di funzioni
$ f_n(x)= (cos(nx)e^(-nx))/root(3)(x) $
Risposte
Idee tue?
in realtà non so da dove cominciare...sarebbe stato più semplice probabilmente se avessi avuto qualche idea mia...ma non so dove mettere le mani... (T-T)
Innanzitutto, devi farti un'idea di quale funzione possa essere il limite in \(L^2\) e di quale funzione possa essere il limite in \(L^\infty\) della tua successione... Come si fa?
Cosa dice il tuo libro in proposito? (Che libro usi?)
Cosa dice il tuo libro in proposito? (Che libro usi?)
non uso nessun libro...solo appunti...la prof non ci ha dato nessun libro in italiano come riferimento...solo libri in inglese...quindi mi arrangio....cmq....forse credo di aver capito un po....allora devo verificare che la mia successione converga ad una funzione f...ovvero $ f_krarr f $
dopo di che per verificare che tale convergenza rientri nello spazio L^p faccio
$lim_(k -> oo) int_(0)^(1) |f_k-f|^p dx =0 $
giusto? se questo è giusto, per p=2 non credo di aver problemi...ma quando p=oo come si fa?
dopo di che per verificare che tale convergenza rientri nello spazio L^p faccio
$lim_(k -> oo) int_(0)^(1) |f_k-f|^p dx =0 $
giusto? se questo è giusto, per p=2 non credo di aver problemi...ma quando p=oo come si fa?
"luanambra":
non uso nessun libro...solo appunti
Male, malissimo.
"luanambra":
...la prof non ci ha dato nessun libro in italiano come riferimento...solo libri in inglese...quindi mi arrangio
Non devi arrangiarti, devi comprare un libro e studiare da lì.
L'inglese tecnico non è difficile e, d'altro canto, credo tu abbia studiato inglese dalla prima elementare... Quindi, sinceramente, non vedo quale possa essere il problema. Certamente, all'inizio faticherai di più, perché non hai l'abitudine di leggere in inglese, ma dopo un po' ti verrà naturale e leggerai e capirai così come avviene per i libri in italiano.
"luanambra":
....cmq....forse credo di aver capito un po....allora devo verificare che la mia successione converga ad una funzione f...ovvero $ f_krarr f $
dopo di che per verificare che tale convergenza rientri nello spazio L^p faccio
$lim_(k -> oo) int_(0)^(1) |f_k-f|^p dx =0 $
giusto? se questo è giusto, per p=2 non credo di aver problemi...ma quando p=oo come si fa?
Innanzitutto, come hai detto, devi trovare la funzione \(f\) candidata ad essere il limite della successione \((f_n)\).
Ad intuito, quale potrebbe essere una buona candidata?
A occhio e croce per n che tende a infinito direi che f è zero....sbaglio?
Non sbagli, ma non sapere perché equivale a tirare ad indovinare... E ciò non va bene.
La dimostrazione del teorema di completezza di \(L^p\) ti dice, tra le altre cose, che se una successione di \(L^p\) converge, il suo limite in norma coincide q.o. col limite puntuale.
Pertanto, quando cerchi il limite nel senso di \(L^p\) di una successione di funzioni, l'unico candidato ammissibile è il limite puntuale q.o.
Nel caso in esame si ha:
\[
\lim_n f_n(x) = 0
\]
per ogni \(x\in ]0,1[\), ergo il limite puntuale q.o. è identicamente nullo, i.e. \(f(x)=0\).
Ora, per confermare o smentire la convergenza in \(L^p\) con \(p=2,\infty\) devi vedere come si comportano al limite le due successioni numeriche \(\| f_n -f\|_{2,(0,1)} =\| f_n\|_{2,(0,1)}\) e \(\|f_n-f\|_{\infty,(0,1)} = \|f_n\|_{\infty,(0,1)}\).
Ti consiglio di partire dalla convergenza in \(L^\infty\), poiché, essendo il problema ambientato in uno spazio di misura finita, la convergenza in \(L^\infty\) implica quella in \(L^p\) con \(1\leq p<\infty\).
La dimostrazione del teorema di completezza di \(L^p\) ti dice, tra le altre cose, che se una successione di \(L^p\) converge, il suo limite in norma coincide q.o. col limite puntuale.
Pertanto, quando cerchi il limite nel senso di \(L^p\) di una successione di funzioni, l'unico candidato ammissibile è il limite puntuale q.o.
Nel caso in esame si ha:
\[
\lim_n f_n(x) = 0
\]
per ogni \(x\in ]0,1[\), ergo il limite puntuale q.o. è identicamente nullo, i.e. \(f(x)=0\).
Ora, per confermare o smentire la convergenza in \(L^p\) con \(p=2,\infty\) devi vedere come si comportano al limite le due successioni numeriche \(\| f_n -f\|_{2,(0,1)} =\| f_n\|_{2,(0,1)}\) e \(\|f_n-f\|_{\infty,(0,1)} = \|f_n\|_{\infty,(0,1)}\).
Ti consiglio di partire dalla convergenza in \(L^\infty\), poiché, essendo il problema ambientato in uno spazio di misura finita, la convergenza in \(L^\infty\) implica quella in \(L^p\) con \(1\leq p<\infty\).
"gugo82":
Non sbagli, ma non sapere perché equivale a tirare ad indovinare... E ciò non va bene
Tranquillo so perfettamente il perche...non tiro ad indovinare... se mi spieghi in modo pratico come risolvere l esercizio oltre a spiegarmelo in modo teorico sarebbe piu semplice per me capire cose che non ho compreso...è proprio quando p vale infinito che non ho capito praticamente come fare..mi spiego meglio....per calcolare $ || f_n ||_oo $ devo calcolarmi l estremo superiore della funzione o c'è qualche altro procedimento da seguire? se devo calcolarmi l'estremo quale formula devo applicare? perchè io ho solo questa
ess sup_E= $ lim_(p -> oo) (int_(E) |f(x)|^P dx )^(1/p) $
ma non so se posso applicarla ad una successione di funzioni o c'è qualche altra formula più adatta...
Le funzioni che hai sotto mano sono funzioni continuissime, quindi l'estremo superiore essenziale coincide con l'estremo superiore; in altre parole:
\[
\| f_n\|_{\infty, (0,1)} := \operatorname{esssup}_{x\in (0,1)} \left| f_n(x)\right| = \sup_{x\in (0,1)} \left| f_n(x)\right|\; .
\]
Il calcolo dell'estremo superiore di una funzione continua è un classico esercizio di Analisi I.
\[
\| f_n\|_{\infty, (0,1)} := \operatorname{esssup}_{x\in (0,1)} \left| f_n(x)\right| = \sup_{x\in (0,1)} \left| f_n(x)\right|\; .
\]
Il calcolo dell'estremo superiore di una funzione continua è un classico esercizio di Analisi I.
perfetto...quindi mi calcolo il sup faccio il limite per n che tende all'infinito...se tale limite è zero converge in entrambi gli spazi se non è zero verifico se c'è convergenza in $L^2$ con questa formula
$lim_(k -> oo) int_(0)^(1) |f_k-f|^p dx =0 $
tenendo conto che f=0 e p=2
giusto?
$lim_(k -> oo) int_(0)^(1) |f_k-f|^p dx =0 $
tenendo conto che f=0 e p=2
giusto?
Certo. 
Se ti va di riportare i risultati, vediamo se fai tutto giusto.
Se ti va di riportare i risultati, vediamo se fai tutto giusto.
allora...ricapitolo prima... abbiamo visto precedentemente che
$ f_krarr f=0 $ dunque devo calcolare
$||f_k(x)-f(x)||_oo=||f_k||_oo= su p |f_k| $ a questo punto ho preferito approssimare $f_k$ per rendere i conti più semplici e spero che questo non sia un errore...ho considerato
$|f_k|= |(cos(nx)e^(-nx))/root(3)(x)|\leq (e^(-nx))/root(3)(x) $
determino il sup di quest ultima funzione e mi viene che il $su p=-1/n$
pertanto per $ n rarr oo $ tale sup tende a zero....
speriamo sia corretto 
$ f_krarr f=0 $ dunque devo calcolare
$||f_k(x)-f(x)||_oo=||f_k||_oo= su p |f_k| $ a questo punto ho preferito approssimare $f_k$ per rendere i conti più semplici e spero che questo non sia un errore...ho considerato
$|f_k|= |(cos(nx)e^(-nx))/root(3)(x)|\leq (e^(-nx))/root(3)(x) $
determino il sup di quest ultima funzione e mi viene che il $su p=-1/n$
pertanto per $ n rarr oo $ tale sup tende a zero....
speriamo sia corretto
Mi pare davvero azzardato dire che \(\sup_{x\in(0,1)} e^{-nx}/\sqrt[3]{x} = -1/n\)... 
ho dimenticato un pezzo per strada 
allora...se non ho dimenticato nulla stavolta risulterebbe che la funzione approssimata nell'intervanno [0;1] è decrescente e quindi in questo intervallo abbiamo un max in zero....giusto? o mi sono persa altro?
Ah, davvero c'è un massimo in \(0\)???
Io non direi proprio...
Sarebbe buona norma ripetere almeno Analisi I, prima di affrontare un esame di Analisi superiore.
Io non direi proprio...
Sarebbe buona norma ripetere almeno Analisi I, prima di affrontare un esame di Analisi superiore.
visto che l intervallo in cui devo verificare è chiuso e limitato in esso ci sono massimi e minimi...weierstrass...
ora quando faccio la derivata della funzione $ f(x)=(e^(-nx))/root(3)(x) $ e la pongo maggiore di zero, in [0;1] la funzione è monotona decrescente.... questo almeno è corretto o mo non so fare manco le derivate?
ora quando faccio la derivata della funzione $ f(x)=(e^(-nx))/root(3)(x) $ e la pongo maggiore di zero, in [0;1] la funzione è monotona decrescente.... questo almeno è corretto o mo non so fare manco le derivate?
"luanambra":
visto che l intervallo in cui devo verificare è chiuso e limitato in esso ci sono massimi e minimi...weierstrass...
ora quando faccio la derivata della funzione $ f(x)=(e^(-nx))/root(3)(x) $ e la pongo maggiore di zero, in [0;1] la funzione è monotona decrescente.... questo almeno è corretto o mo non so fare manco le derivate?
Sbagli dal principio, perché invochi Weierstrass quando non puoi.
Per favore, fai le cose con più attenzione.
scusami....detto in napoletano...tien ragion tu...ero convinta che l intervallo fosse chiuso invece è aperto...ho controllato ora la traccia... ma questo a parte...che la funzione è decrescente ti trovi?
"luanambra":
scusami....detto in napoletano...tien ragion tu...ero convinta che l intervallo fosse chiuso invece è aperto
Non è questo il problema.
Nei problemi di Analisi Reale, i punti non hanno grande importanza (poiché hanno misura nulla secondo Lebesgue); dunque considerare intervalli aperti o intervalli chiusi con gli stessi estremi non fa differenza.
Il problema è a monte: le funzioni del tipo \(e^{-nx}/\sqrt[3]{x}\) non sarebbero continue in \(0\) nemmeno a volerle prendere a schiaffi, perché risulta:
\[
\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{-nx}}{\sqrt[3]{x}} = +\infty\; .
\]
"luanambra":
la funzione è decrescente ti trovi?
Non l'ho controllato, perché non serve (dato il risultato di cui sopra), ma ci posso credere.
Il risultato di cui sopra, in soldoni, ti dice che la maggiorazione non è servita a nulla... Perché?
Quindi devi controllare cosa succede con le funzioni assegnate inizialmente.
"gugo82":
[quote="luanambra"]scusami....detto in napoletano...tien ragion tu...ero convinta che l intervallo fosse chiuso invece è aperto
Non è questo il problema.[/quote]
stavo parlando dell'errore di Analisi 1 non dell'esercizio in questione...in ogni caso dopo questo.....
"gugo82":
Il risultato di cui sopra, in soldoni, ti dice che la maggiorazione non è servita a nulla... Perché?
Quindi devi controllare cosa succede con le funzioni assegnate inizialmente.
......mi arrendo.....
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