Convergenza serie (tema d'esame)
Di nuovo ciao a tutti!
Mi sto preparando per l'esame di Analisi I, e ovviamente i nodi stanno venendo al pettine.
Soprattutto perchè nonostante i tantissimi esercizi fatti e la teoria studiata, mi sento sempre di "non saper fare niente", anche se risolvo correttamente i vari esecizi. Questo che vi propongo è un esempio:
Sia $\alpha > 0$, La serie:
$\sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n (n^4)/(n^(\alpha)log^3(n)+log^2(n))$
1) Converge assolutamente se e solo se $\alpha$...
2) Converge ma non assolutamente se e solo se $\alpha$...
Ho risolto in questo modo:
1) Applico il modulo al termine generale della serie, tutti i termini che rimangono sono positivi, quindi ometto il simbolo del modulo e faccio una maggiorazione:
$\sum_{n=2}^{+\infty} (n^4)/(n^(\alpha)log^3(n)+log^2(n))$ $<=$ $\sum_{n=2}^{+\infty} (1)/(n^(\alpha-4)log^3(n)$
Poichè $\sum_{n=2}^{+\infty} (1)/(n^(\alpha-4)log^3(n)$ converge se e solo se $\alpha -4 >= 1$ poichè l'esponente del logaritmo è $>1$
Quindi $\alpha >= 5$
2) Uso il criterio di Leibniz e ne verifico le 3 condizioni:
a) $a_{n} > 0 AA n$
b) $a_{n}$ non crescente $AA n$
c) $lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0$
Il punto a è ovvio.
Il punto b è vero se $\alpha >=4$
Il punto c mi crea qualche problema. Faccio:
$lim_{n \to +\infty} (n^4)/(n^(\alpha)log^3(n)+log^2(n)) ~ lim_{n \to +\infty} (1)/(n^(\alpha-4)log^3(n)$
Che è possibile perchè $\alpha > 0$. Se fosse stato $\alpha in RR$, non avrei potuto fare la stima asintotica.
In ogni caso, qui mi verrebbe che il $lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0 AA \alpha > 0$.
Ma data la limitazione data dal punto b e dal punto 1, posso affermare che la serie converge ma non assolutamente se e solo se $4<= \alpha < 5$?
Mi sto preparando per l'esame di Analisi I, e ovviamente i nodi stanno venendo al pettine.
Soprattutto perchè nonostante i tantissimi esercizi fatti e la teoria studiata, mi sento sempre di "non saper fare niente", anche se risolvo correttamente i vari esecizi. Questo che vi propongo è un esempio:
Sia $\alpha > 0$, La serie:
$\sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n (n^4)/(n^(\alpha)log^3(n)+log^2(n))$
1) Converge assolutamente se e solo se $\alpha$...
2) Converge ma non assolutamente se e solo se $\alpha$...
Ho risolto in questo modo:
1) Applico il modulo al termine generale della serie, tutti i termini che rimangono sono positivi, quindi ometto il simbolo del modulo e faccio una maggiorazione:
$\sum_{n=2}^{+\infty} (n^4)/(n^(\alpha)log^3(n)+log^2(n))$ $<=$ $\sum_{n=2}^{+\infty} (1)/(n^(\alpha-4)log^3(n)$
Poichè $\sum_{n=2}^{+\infty} (1)/(n^(\alpha-4)log^3(n)$ converge se e solo se $\alpha -4 >= 1$ poichè l'esponente del logaritmo è $>1$
Quindi $\alpha >= 5$
2) Uso il criterio di Leibniz e ne verifico le 3 condizioni:
a) $a_{n} > 0 AA n$
b) $a_{n}$ non crescente $AA n$
c) $lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0$
Il punto a è ovvio.
Il punto b è vero se $\alpha >=4$
Il punto c mi crea qualche problema. Faccio:
$lim_{n \to +\infty} (n^4)/(n^(\alpha)log^3(n)+log^2(n)) ~ lim_{n \to +\infty} (1)/(n^(\alpha-4)log^3(n)$
Che è possibile perchè $\alpha > 0$. Se fosse stato $\alpha in RR$, non avrei potuto fare la stima asintotica.
In ogni caso, qui mi verrebbe che il $lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0 AA \alpha > 0$.
Ma data la limitazione data dal punto b e dal punto 1, posso affermare che la serie converge ma non assolutamente se e solo se $4<= \alpha < 5$?
Risposte
Il limite $\lim a_n=0$ se $\alpha \geq 4$, quindi per $\alpha \in (0,4)$ non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza e si conclude come hai scritto.
Perfetto! Grazie mille! Sei stato gentilissimo!
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