Convergenza serie pari-dispari
Ciao a tutti
premetto che cono giorni che eseguo esercizi sulle serie e ho le idee abbastanza chiare, ma ieri sera mi sono imbattuto in uno di questi che mi ha lasciato perplesso
la serie di cui devo studiare la convergenza è:
$ { ( (-1)^{frac{k}{2}} frac{1}{sqrt{k+1}} text{ ; k pari} ),( (sqrt{k+1}-sqrt{k})^{4} text{ ; k dispari} ):} $
Il fatto di avere due diverse serie a seconda che l'indice sia pari o dispari mi blocca.
Ovviamente non chiedo che mi venga risolto, ma mi servirebbe un'indicazione su come impostare l'esercizio?
Grazie
premetto che cono giorni che eseguo esercizi sulle serie e ho le idee abbastanza chiare, ma ieri sera mi sono imbattuto in uno di questi che mi ha lasciato perplesso
la serie di cui devo studiare la convergenza è:
$ { ( (-1)^{frac{k}{2}} frac{1}{sqrt{k+1}} text{ ; k pari} ),( (sqrt{k+1}-sqrt{k})^{4} text{ ; k dispari} ):} $
Il fatto di avere due diverse serie a seconda che l'indice sia pari o dispari mi blocca.
Ovviamente non chiedo che mi venga risolto, ma mi servirebbe un'indicazione su come impostare l'esercizio?
Grazie
Risposte
Se prendi $N\in \mathbb{N}$ e noti $a_n$ i termini da sommare puoi calcolare $\sum_{n=0}^{2N}a_n$ (avrai due somme, une per i $n$ pari e l'altra per i dispari). Dopo devi mostrare che le due somme hanno un limite quando $n\to +\infty$. Fai la stessa cosa per $\sum_{n=0}^{2N+1}a_n$ e mostra che il limite è lo stesso.
Grazie mille
credo di aver capito
credo di aver capito
"girdav":
Se prendi $N\in \mathbb{N}$ e noti $a_n$ i termini da sommare puoi calcolare $\sum_{n=0}^{2N}a_n$ (avrai due somme, une per i $n$ pari e l'altra per i dispari). Dopo devi mostrare che le due somme hanno un limite quando $n\to +\infty$. Fai la stessa cosa per $\sum_{n=0}^{2N+1}a_n$ e mostra che il limite è lo stesso.
Io non sono sicuro
.. A quale conclusione porta questo procedimento? 
. Sia ben chiaro, non sto dicendo che il suggerimento è sbagliato... semplicemente non capisco a che serve ...
Se scriviamo $S_N = \sum_{n=0}^Na_n$, dimostreremo che $((s_{2N})_{N\in\mathbb N}$ e $((s_{2N+1})_{N\in\mathbb N}$ sono convergente e hanno lo stesso limite.
@Summerwind: Ma non sarà che devi studiare la convergenza della successione, invece che della serie? Guarda bene la traccia, per favore.
@girdav: Credo che il tuo suggerimento non funzioni, come intuito da Mathematico. Tu vuoi informazioni sulla successione
$S_n=sum_{k=1}^n a_k$
e proponi di studiare separatamente
$S_{2n}, S_{2n+1}$;
il che va benissimo, solo che $S_{2n}$ NON è la somma dei soli termini pari della successione $a_n$, e $S_{2n+1}$ NON è la somma dei soli termini dispari di $a_n$, come lasci intendere tu.
@girdav: Credo che il tuo suggerimento non funzioni, come intuito da Mathematico. Tu vuoi informazioni sulla successione
$S_n=sum_{k=1}^n a_k$
e proponi di studiare separatamente
$S_{2n}, S_{2n+1}$;
il che va benissimo, solo che $S_{2n}$ NON è la somma dei soli termini pari della successione $a_n$, e $S_{2n+1}$ NON è la somma dei soli termini dispari di $a_n$, come lasci intendere tu.
Forse mi sono espresso male; $S_{2N} =\sum_{k=0}^Na_{2k}+\sum_{k=1}^Na_{2k-1}$ e $S_{2N+1} =S_{2N}+a_{2N+1} = S_{2N}+(\sqrt{2N+2}-\sqrt{2N+1})^4 =S_{2N} +\frac 1{(\sqrt{2N+2}+\sqrt{2N+1})^4}$. Siccome $a_{2k} =\frac{(-1)^k}{\sqrt {2k}}$, si può mostrare che la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}a_{2k}$ è convergente e si mostra anche che la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}a_{2k+1}$ è convergente.
Senti, non lo so, c'è una cosetta che mi sfugge... Siccome questa non è una serie a termini positivi, l'ordine di sommazione è importante. Se fai così non stai prendendo gli addendi in ordine diverso? Mi sbaglio? Ti devo confessare che non ho prestato molta attenzione.
Ho solo scritto $(S_{2N})$ come somma di due successioni convergenti.
Eh no! Ha proprio ragione dissonance. Ad esempio
[tex]\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}[/tex]
converge per Leibniz, ma separando pari da dispari ti saltano fuori due serie divergenti!
[tex]\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}[/tex]
converge per Leibniz, ma separando pari da dispari ti saltano fuori due serie divergenti!
No, nel tuo esempio quello che non funziona è che le serie dei pari e dei dispari sono divergente. Invece nel' esempio la serie dei $k$ pari e quella dei $k$ dispari sono, se non mi sbaglio, tutte due convergenti. È proprio quello che fa funzionare il mio argomento (che non funzionerebbe nel tuo esempio perché non si può dire niente sulla somma di due successioni divergenti).
Che è come dire che hai studiato la convergenza assoluta.
Ok, mi torna, conti a parte perché non ho voglia di mettermi a farli!
Ok, mi torna, conti a parte perché non ho voglia di mettermi a farli!
Mi sembra che l'argomento proposto da girdav sia corretto; in sostanza basta scrivere
$s_{2N} = \sum_{j=0}^N a_{2j} + \sum_{j=0}^{N-1} a_{2j+1} =: A_N + B_{N-1}$
e, analogamente
$s_{2N+1} = A_N + B_N$.
Poiché $(A_N)$ e $(B_N)$ sono successioni convergenti (diciamo ad $A$ e $B$), concludiamo che $(S_{2N})$ e
$(S_{2N+1})$ convergono allo stesso limite $A+B$.
$s_{2N} = \sum_{j=0}^N a_{2j} + \sum_{j=0}^{N-1} a_{2j+1} =: A_N + B_{N-1}$
e, analogamente
$s_{2N+1} = A_N + B_N$.
Poiché $(A_N)$ e $(B_N)$ sono successioni convergenti (diciamo ad $A$ e $B$), concludiamo che $(S_{2N})$ e
$(S_{2N+1})$ convergono allo stesso limite $A+B$.
@maurer:
non è come studiare la convergenza assoluta, tanto che quella serie NON converge assolutamente.
non è come studiare la convergenza assoluta, tanto che quella serie NON converge assolutamente.
@Dissonance: no purtroppo è una serie e non una successione
In realtà anch'io pensavo si ricadesse in qualche "folle" serie che cambia somma in base alla permutazione dei suoi elementi. Il teorema di riemann dini ultimamente mi perseguita 
Umm... ok. Rigel mi ha convinto. Avevo letto un po' troppo di fretta....
Naturalmente mi sono convinto anche io e chiedo scusa a girdav per il pasticcio.
Le scuse sono accettate, ma è vero che qui bisognava fare attenzione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo