Convergenza serie numeriche

[picc_stell]

Ciao ragazzi !! =)
Ho bisogno di aiuto!
Voglio studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie

$ Serie ((-1)^(k) ((1-sin(1/k)) )/(root(4)(k) )) $

Per la convergenza assoluta ci sono-basta che studio la convergenza della serie del valore assoluto
Ma per la convergenza semplice?
Pensavo di utilizzare Leibniz.
Riesco a dimostrare che la serie è infinitesima.
Ma per dimostrare che è decrescente ? come posso fare ? c entra qualcosa l induzione?
Grazie in anticipo=)
help me!

[salvozungri]

La convergenza assoluta implica la convergenza semplice. Una volta dimostrato che la serie converge assolutamente hai finito. Diventa laborioso studiare la decrescenza della successione $a_k= \frac{1-sin(1/k)}{root(4)(k)}$, non è quindi una cosa furba utilizzare leibnitz.

[dissonance]

Ma non mi pare che quella serie converga assolutamente. Mi sbaglio?

[salvozungri]

No, dissonance, non sbagli. Ho fatto confusione tra lo sviluppo del seno e quello del coseno. .

[Edit]: Grazie per la precisazione

[Sk_Anonymous]

La serie non converge, e il motivo è perchè quella successione non è decrescente, come invece richiede il teorema di Leibniz. Per dimostrarlo, studi il segno della derivata prima della funzione associata, che è: $((1/x^2)cos(1/x))/((1/4)x^(-(3/4)))$, da cui $f'(x)=(4cos(1/x))/x^(2/3)$. A questo punto, il denominatore è sempre positivo, mentre il numeratore, per $x->+oo$, tende a 1, e di conseguenza, per una scelta di $n$ abbastanza grande, la successione è crescente: di conseguenza la serie non converge.

[dissonance]

Ma il criterio di Leibniz è un "se e solo se"? Ovvero, una serie numerica di tipo $sum_{n=0}^infty (-1)^na_n$, con $a_nge0$, è convergente se e solo se $a_n$ va decrescendo a zero? Sei sicuro del "solo se"?

[Sk_Anonymous]

Il teorema afferma che, se la successione $a_n$ è decrescente E infinitesima, allora la serie converge. Deve essere contemporaneamente sia decrescente, sia infinitesima.
L'espressione giusta deve essere "solo se", perchè se dicessimo "se e solo se" intenderemmo che l'unica condizione è che $a_n$ sia decrescente, cosa non vera poichè deve anche essere infinitesima.
P.S= a chi ti riferisci?

[dissonance]

A te. Non vedo nessun "solo se" in questo enunciato. Eppure il "solo se" è proprio ciò che usi quando dici: "non sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz, quindi la serie non converge". Con l'enunciato che hai fornito, e che è quello che conosco pure io tra l'altro, se le ipotesi non sono verificate non si può concludere nulla.

E poi anche i conti che hai fatto non mi convincono. La successione è definitivamente crescente?!? Non può essere: è infinitesima e positiva, quindi per essere pure crescente l'unica possibilità sarebbe che fosse identicamente nulla.

Controlla bene quei conti, sono sbagliati.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":A te. Non vedo nessun "solo se" in questo enunciato. Eppure il "solo se" è proprio ciò che usi quando dici: "non sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz, quindi la serie non converge". Con l'enunciato che hai fornito, e che è quello che conosco pure io tra l'altro, se le ipotesi non sono verificate non si può concludere nulla.

Già, hai ragione, non si può concludere nulla.
Hai ragione anche sul secondo punto. Penso che i conti siano giusti. In realtà, quello che ho calcolato io è il limite per $x$ che tende a più infinito della derivata prima. Beh, su questo forum si viene anche per imparare, e ammetto di aver ancora tanto da imparare..mi scuso se ho dato un suggerimento errato.

P.S=effettivamente, ho fatto un casino , ho calcolato quella derivata applicando il teorema di de l'Hopital , anzichè la regola di derivazione del quoziente: questi errori non sono da me...sarà che sono stanco, vado a dormire

[picc_stell]

ok grazie ragazzi! il mio dubbio è appunto come determinare se una successione è decrescente. Pensavo all induzione, ma è effettivamente più semplice studiare la derivata prima della funzione! grazie mille