Convergenza Serie Numeriche
Essendo esercizi iniziali sull'argomento, penso siano abbastanza standard..ma non riesco comunque a venirne a capo ..
Devo verificare se le serie convergono o meno. Una è questa:
$ sum_(n =1 ) ^∞ n^n/(n!^2 $
mentre il secondo è:
$ sum_(n = 1)^∞ [sen(sen n)]^n $
al secondo penso che dovrei utilizzare il criterio della radice
Devo verificare se le serie convergono o meno. Una è questa:
$ sum_(n =1 ) ^∞ n^n/(n!^2 $
mentre il secondo è:
$ sum_(n = 1)^∞ [sen(sen n)]^n $
al secondo penso che dovrei utilizzare il criterio della radice
Risposte
Cominciamo passo passo
iniziamo dal primo esercizio
prova ad utilizzare il criterio del rapporto
iniziamo dal primo esercizio
"Maryse":
$ sum_(n =1 ) ^∞ n^n/(n!^2 $
prova ad utilizzare il criterio del rapporto
Allora ho questo limite giusto?
$ lim_(n -> ∞) (n+1)^(n+1)/((n+1)!)^2*(n!^2)/n^n $
$ lim_(n -> ∞) (n+1)^(n+1)/((n+1)!)^2*(n!^2)/n^n $
esatto!.. dai vai avanti con il limite..
tenendo presente che $[(n+1)! ]=(n+1)n(n-1)(n-2)\cdot 2 \cdot 1=(n+1) n!$
tenendo presente che $[(n+1)! ]=(n+1)n(n-1)(n-2)\cdot 2 \cdot 1=(n+1) n!$
quindi mi rimane
$ lim_(n -> ∞) (n+1)^(n+1)/((n^n)* (n+1)^2) = lim_ (n->∞) (n+1)^(n-1)/n^n $
$ lim_(n -> ∞) (n+1)^(n+1)/((n^n)* (n+1)^2) = lim_ (n->∞) (n+1)^(n-1)/n^n $
Quell'ultimo limite lì ricorda troppo una cosa notevole per non sapere dove mettere mano.
L'altra serie, invece, è un po' rompiscatole... Tuttavia, se tieni presente che \(-1\leq \sin n\leq 1\) e che il seno è strettamente crescente in \([-\pi/2,\pi/2]\), potresti riuscire a cavartela.
L'altra serie, invece, è un po' rompiscatole... Tuttavia, se tieni presente che \(-1\leq \sin n\leq 1\) e che il seno è strettamente crescente in \([-\pi/2,\pi/2]\), potresti riuscire a cavartela.
L'ho definito come:
$ lim_(n -> ∞)(1+1/n)^n $
quindi mi riconduco a questo?
per la seconda serie, domani mattina riprovo così vedo cosa riesco a concludere e scrivo qui
$ lim_(n -> ∞)(1+1/n)^n $
quindi mi riconduco a questo?
per la seconda serie, domani mattina riprovo così vedo cosa riesco a concludere e scrivo qui
"Maryse":
L'ho definito come:
$ lim_(n -> ∞)(1+1/n)^n $
quindi mi riconduco a questo?
Certo.
"Maryse":
per la seconda serie, domani mattina riprovo così vedo cosa riesco a concludere e scrivo qui
Curioso di sapere com'è andata a finire...
Ok il primo è risolto mi sono ricondotta al limite notevole... per la seconda serie, non sono riuscita a concludere niente..ho provato comunque con il criterio della radice
Non si tratta di una serie a termini positivi; osservando chel$|\sin n|\le1,$ avremo che
\begin{align*}
|\sin n|\le1\quad\Rightarrow\quad|\sin(\sin n)|\le\sin1,
\end{align*}
dove l'angolo $1$ radiante è nel primo quadrante, e dunque per $|x|\le1$ la funzione $\sin x$ è monotona crescente. Quindi
\begin{align*}
\left|[\sin(\sin n)] \right|^n\le (\sin1)^n;
\end{align*}
allora per confronto con la serie geometrica di ragione $(\sin1),$ essendo $0<\sin1<1,$ la serie data converge assolutamente.
Ora prova a fare questa:
$$\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{\cos\left(\sin n\right)}{n }.$$
\begin{align*}
|\sin n|\le1\quad\Rightarrow\quad|\sin(\sin n)|\le\sin1,
\end{align*}
dove l'angolo $1$ radiante è nel primo quadrante, e dunque per $|x|\le1$ la funzione $\sin x$ è monotona crescente. Quindi
\begin{align*}
\left|[\sin(\sin n)] \right|^n\le (\sin1)^n;
\end{align*}
allora per confronto con la serie geometrica di ragione $(\sin1),$ essendo $0<\sin1<1,$ la serie data converge assolutamente.
Ora prova a fare questa:
$$\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{\cos\left(\sin n\right)}{n }.$$
Aaah ok grazie mille ora provo quella che hai scritto
Allora:
$ sum_(n = 1 ) ^∞ (cos(sen(n)))/n $
anche questa non è una serie a termini positivi e dunque:
$ |sen(n)|<= 1 rArr |cos(sen(n))|<= cos1 $
quindi anche qui usando il teorema del confronto ho che:
$ |cos(sen(n))|/n <= cos1/n $
che diverge, quindi la serie data diverge.
Giusto?
$ sum_(n = 1 ) ^∞ (cos(sen(n)))/n $
anche questa non è una serie a termini positivi e dunque:
$ |sen(n)|<= 1 rArr |cos(sen(n))|<= cos1 $
quindi anche qui usando il teorema del confronto ho che:
$ |cos(sen(n))|/n <= cos1/n $
che diverge, quindi la serie data diverge.
Giusto?
La serie è termini positivi: infatti osservando che
$$ | \sin n | \le1 \Rightarrow \cos (\sin n )\ge\cos1,$$
poichè l'angolo $1$ radiante è nel primo quadrante, e la funzione $\cos x$ decresce per $0\le x\le1,$ quindi si ha e che $\cos x\ge\cos1;$ allora, considerando il termine generale:
\begin{align*}
\frac{\cos\left(\sin n\right)}{n } \ge\frac{\cos1 }{n } \to \text{diverge;}
\end{align*}
e dunque la serie data risulta divergente per confronto con la serie armonica semplice.
$$ | \sin n | \le1 \Rightarrow \cos (\sin n )\ge\cos1,$$
poichè l'angolo $1$ radiante è nel primo quadrante, e la funzione $\cos x$ decresce per $0\le x\le1,$ quindi si ha e che $\cos x\ge\cos1;$ allora, considerando il termine generale:
\begin{align*}
\frac{\cos\left(\sin n\right)}{n } \ge\frac{\cos1 }{n } \to \text{diverge;}
\end{align*}
e dunque la serie data risulta divergente per confronto con la serie armonica semplice.
Ah ecco, grazie
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