Convergenza serie numerica con parametro
Salve a tutti, sto preparando l'esame di complementi di analisi e sono incappato in un problema dal quale non riesco ad uscire.
L'esercizio è il seguente:
Si chiede di studiare al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \) il carattere della seguente serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln\frac{n^{\alpha^2}}{n^{\alpha^2}-1}}{{(1-\cos\frac{1}{n})}^{{2}{\alpha}+3}}\)
Credo innanzitutto che l'indice di partenza sia errato, in quanto il denominatore del logaritmo non è definito per n=1.
Detto questo, ho pensato di analizzare il caso in cui \(\displaystyle 2{\alpha}+3=0 \).
In questo caso la serie diventa
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {\ln\frac{n^{\alpha^2}}{n^{\alpha^2}-1}}\)
La condizione necessaria è verificata, in quanto facendo il limite per n->infinito, la successione tende a zero. Tuttavia non ho idea di come proseguire per dimostrare che la serie converge (se converge). Negli altri due casi, ovvero \(\displaystyle 2{\alpha}+3<0 \) e \(\displaystyle 2{\alpha}+3>0 \) ho pensato di sviluppare il coseno e analizzare la situazione.
Vi ringrazio per ogni aiuto che mi saprete dare e per la vostra disponibilità!
L'esercizio è il seguente:
Si chiede di studiare al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \) il carattere della seguente serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln\frac{n^{\alpha^2}}{n^{\alpha^2}-1}}{{(1-\cos\frac{1}{n})}^{{2}{\alpha}+3}}\)
Credo innanzitutto che l'indice di partenza sia errato, in quanto il denominatore del logaritmo non è definito per n=1.
Detto questo, ho pensato di analizzare il caso in cui \(\displaystyle 2{\alpha}+3=0 \).
In questo caso la serie diventa
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {\ln\frac{n^{\alpha^2}}{n^{\alpha^2}-1}}\)
La condizione necessaria è verificata, in quanto facendo il limite per n->infinito, la successione tende a zero. Tuttavia non ho idea di come proseguire per dimostrare che la serie converge (se converge). Negli altri due casi, ovvero \(\displaystyle 2{\alpha}+3<0 \) e \(\displaystyle 2{\alpha}+3>0 \) ho pensato di sviluppare il coseno e analizzare la situazione.
Vi ringrazio per ogni aiuto che mi saprete dare e per la vostra disponibilità!
Risposte
Ciao alealessietto,
Sono d'accordo con te, certamente $n $ parte da $2 $.
Dovresti anche chiarire il testo dell'esercizio, perché nella serie hai scritto $2\alpha + 3 $, poi però hai analizzato il caso $2\alpha - 3 = 0 $: qual è quello corretto?
Ora non ho molto tempo, ma indipendentemente da quanto sopra e supponendo che sia $2\alpha - 3 $ l'espressione corretta, riscriverei la serie proposta nel modo seguente:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\ln\frac{n^{\alpha^2}}{n^{\alpha^2}-1}}{(1-\cos\frac{1}{n})^{2\alpha -3}} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n^{4\alpha - 6}\ln\frac{n^{\alpha^2} - 1 + 1}{n^{\alpha^2}-1}}{(\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{1/n^2})^{2\alpha -3}} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n^{4\alpha - 6}\ln(1 + \frac{1}{n^{\alpha^2}-1})}{(\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{1/n^2})^{2\alpha -3}} = $
$ =\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\frac{n^{4\alpha - 6}}{n^{\alpha^2} - 1}\cdot \frac{\ln(1 + \frac{1}{n^{\alpha^2}-1})}{\frac{1}{n^{\alpha^2}-1}}}{(\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{1/n^2})^{2\alpha -3}} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\frac{1}{n^{\alpha^2 - 4\alpha + 6} - n^{-4\alpha + 6}}\cdot \frac{\ln(1 + \frac{1}{n^{\alpha^2}-1})}{\frac{1}{n^{\alpha^2}-1}}}{(\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{1/n^2})^{2\alpha -3}} $
"alealessietto":
Credo innanzitutto che l'indice di partenza sia errato, in quanto il denominatore del logaritmo non è definito per n=1.
Sono d'accordo con te, certamente $n $ parte da $2 $.
Dovresti anche chiarire il testo dell'esercizio, perché nella serie hai scritto $2\alpha + 3 $, poi però hai analizzato il caso $2\alpha - 3 = 0 $: qual è quello corretto?
Ora non ho molto tempo, ma indipendentemente da quanto sopra e supponendo che sia $2\alpha - 3 $ l'espressione corretta, riscriverei la serie proposta nel modo seguente:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\ln\frac{n^{\alpha^2}}{n^{\alpha^2}-1}}{(1-\cos\frac{1}{n})^{2\alpha -3}} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n^{4\alpha - 6}\ln\frac{n^{\alpha^2} - 1 + 1}{n^{\alpha^2}-1}}{(\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{1/n^2})^{2\alpha -3}} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n^{4\alpha - 6}\ln(1 + \frac{1}{n^{\alpha^2}-1})}{(\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{1/n^2})^{2\alpha -3}} = $
$ =\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\frac{n^{4\alpha - 6}}{n^{\alpha^2} - 1}\cdot \frac{\ln(1 + \frac{1}{n^{\alpha^2}-1})}{\frac{1}{n^{\alpha^2}-1}}}{(\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{1/n^2})^{2\alpha -3}} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\frac{1}{n^{\alpha^2 - 4\alpha + 6} - n^{-4\alpha + 6}}\cdot \frac{\ln(1 + \frac{1}{n^{\alpha^2}-1})}{\frac{1}{n^{\alpha^2}-1}}}{(\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{1/n^2})^{2\alpha -3}} $
Ciao! Grazie per la repentina risposta! Hai ragione, sono un pollo. Ho sbagliato a scrivere. L'esponente corretto è \(\displaystyle 2\alpha+3=0 \).
A questo punto mi sembra di intravedere a primo vista dei limiti notevoli! Grazie mille, proverò a risolvere ed eventualmente tornerò a chiedervi una mano!
Grazie ancora!
A questo punto mi sembra di intravedere a primo vista dei limiti notevoli! Grazie mille, proverò a risolvere ed eventualmente tornerò a chiedervi una mano!
Grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo