Convergenza serie numerica a segno alterno

[vicio_93]

Salve ragazzi,
sono alle prime armi con le serie numeriche e non riesco a risolverne una:

$ sum_(k=1 -> oo \ldots) (-1)^k*(1-sin(1/k))/k^(1/4) $

Di questa serie devo vedere se converge semplicemente o assolutamente.

Io ho provato così:
per il criterio della convergenza assoluta la serie converge se converge la serie dei moduli

$ sum_(k=1 -> oo \ldots) |(-1)^k*(1-sin(1/k))/k^(1/4)| $ = $ sum_(k =1->oo \ldots) (1-sen(1/k))/k^(1/4) $

poiche il denominatore vria tra 0 e 2 e il denominatore è sempre maggiore di zero.

Ho provato col criterio del confronto per serie ma ho trovato solo una funzione maggiorante che diverge, quindi non posso concludere nulla. Non ho riaolto neanche col criterio del confronto asintotico.

Quindi come risolvere questa serie?

Grazie in anticipo

[quantunquemente]

$ lim_(k -> +infty) 1-sen1/k=1 $
quindi, senz'altro,da un certo $k$ in poi puoi prendere come serie minorante la serie di termine generale $(1/2)/k^(1/4)$

[Werner1]

Per il criterio di Leibniz converge semplicemente, hai una serie a segni alterni dove la successione $a_k=\frac{1-\sin(\frac{1}{k})}{k^{\frac{1}{4}}}$ tende a 0 e che è definitivamente monotona decrescente. La convergenza assoluta non è verificata in fatti per $k$ che tende all'infinito la successione degli $a_k$ è asintotica a $\frac{1}{k^{\frac{1}{4}}}$, è una serie armonica generalizzata che non convege

[vicio_93]

Fammi capire.. Per il criterio di Leibniz la serie converge visto che è definitivamente decrescente (per $ 3pi/2+2kpi<=1/z<=1/2pi+2kpi $) e il limite tende a zero per $ k->oo $. Ora per il criterio della convergenza assoluta la serie converge se converge la serie dei moduli. Ma come facciamo a concludere che la serie dei moduli non converge?

[Werner1]

perché la successione degli $a_k$ in modulo è asinyotica a $\frac{1}{k^{}1/4}$, quindi è come una serie armonica, le serie armoniche $\sum \frac{1}{k^n}$, convergono solo per $n>1$

[vicio_93]

Va bene. Esiste qualche criterio tramite il quale posso dire che la serie è riducibile a $ 1/(k^1/4) $ oppure è solo una considerazione dettata dal fatto che il numeratore varia tra 0 e 2?

[Werner1]

Per $k$ che tende a infinito $\sin(\frac{1}{k})$ tende a 0, quindi il numeratore tende a 1, da qui vedi che la serie è asintotica a $\frac{1}{k^{1/4}}$. In alternativa puoi provare a vedere che la tua successione è $O(\frac{1}{k^{1/4}})$ per k che tende all'infinito

[vicio_93]

Grazie 1000