Convergenza serie numerica

[giannitwo]

ho provato col criterio del rapporto asintotico e mi viene che il limite è +oo, maxima mi dice che è uno!
$ sum (x!)/(x^x)*e^x $

[Seneca1]

Immagino che la serie sia la seguente: $sum_(n=1)^(oo) (n!)/(n^n) * e^n$ ($x$ solitamente si usa per indicare un parametro negli esercizi di questo tipo).

Se è così basta usare la formula di Stirling; dovrebbe semplificarti la vita.

[giannitwo]

sisi è cosi.. ho visto si wikipedia cosa è..ma non ce ne hanno mai parlato, altri modi non ci sono?

[Seneca1]

Il termine generale non è infinitesimo, quindi ti basta verificare che $lim_n (e^n * n!)/n^n != 0$.

[giannitwo]

vedo che riesco a fare! grazie!

[Seneca1]

Ci ho pensato un po'... Il mondo più semplice per verificarlo è la formula di Stirling.

[Rigel1]

In realtà, senza scomodare la formula di Stirling, basta osservare che
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{(1+1/n)^n} > 1$,
dal momento che, come è noto, la successione a denominatore nella seconda frazione è crescente e approssima $e$ per difetto.
La successione $(a_n)$ è dunque monotona crescente e, in particolare $a_n > a_1 = e$ per ogni $n$.
(Usando la formula di Stirling si vede subito che $a_n \to +\infty$.)

[Seneca1]

"Rigel":In realtà, senza scomodare la formula di Stirling, basta osservare che
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{(1+1/n)^n} > 1$,
dal momento che, come è noto, la successione a denominatore nella seconda frazione è crescente e approssima $e$ per difetto.
La successione $(a_n)$ è dunque monotona crescente e, in particolare $a_n > a_1 = e$ per ogni $n$.
(Usando la formula di Stirling si vede subito che $a_n \to +\infty$.)

Ottima osservazione! Probabilmente era questo che l'utente voleva sapere.