Convergenza serie numerica

[piccola881]

$\sum (1+log(1+1/n^2))^(n^3sen1/n^alpha)
ho considerato che:
$\log(1+1/n^2)<1/n^2
$\sen1/n^alpha<1/n^alpha
quindi la serie di partenza è minore di $\sum (1+1/n^2)^(n^3 *1/n^alpha)
applicando il criterio della radice ho ottenuto:$\lim (1+1/n^2)^(n^2 *1/n^alpha)=lim e^(1/n^alpha)<1

$\e^y<1 hArr y0 hArr alpha>0

converge per $\alpha>0$ ho fatto bene?

[gugo82]

Hai controllato la condizione necessaria alla convergenza prima di metterti a fare conti?

[piccola881]

in che senso?
avevo una f(x) se g(x)converge,allora converge anche f(x)
allora la g(x) dopo aver applicato il criterio della radice converge se è<1

[gugo82]

Nel senso che, come al solito, se $lim_n (1+ln(1+1/n^2))^(n^3sin(1/n^alpha))!=0$ la serie non può convergere.

E poi, se scrivi $lim_n "e"^(1/n^alpha)$ e non calcoli il limite quanto fa, come lo applichi il criterio della radice?

[piccola881]

hai ragione!come si poteva fare?

[gugo82]

Limiti notevoli, per la condizione necessaria; ad occhio, per il criterio della radice.
Prova tu... Partendo dalla condizione necessaria, ovviamente.