Convergenza serie numerica

[alberto861]

ciao a tutti..devo studiare il carattere della seguente serie $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\log(n)}$...con il criterio criterio del rapporto o della radice non sono riuscito a fare molto ed usando il confronto sono giunto alla seguente "strana" disuguaglianza: $\forall \epsilon >0$ $\exists N$ tale che $\forall n>N$ si ha $\frac{1}{n}>\frac{1}{nlog(n)}>\frac{1}{n^{1+\epsilon}}$...questa segue dal fatto che studiando il grafico della funzione $x^{1+\epsilon}-xlog(x)$ si ha che è positiva per $x>>0$ e questo si vede raccogliendo e prendendo il limite all'infinito di $x^{1+\epsilon}(1-\frac{log(x)}{x^{\epsilon}})$ e con de l'Hopital si ha $\frac{log(x)}{x^{\epsilon}}->0$ quando $x->\infty$.....la mia domanda è:come va interpretata in termini di convergenza della serie??

[alberto861]

Ho risolto..bastava usare il criterio integrale..infatti considerata la funzione $\frac{1}{x(log(x))^{\alpha}}$ si ha che una primitiva è $\frac{(log(x))^{1-\alpha}}{1-\alpha}$, mentre per $\alpha=1$ è $log(log(x))$...pertanto si ha che $\int_2^{\infty} \frac{1}{x(log(x))^{\alpha}} dx $ converge se $\alpha>1$ e diverge se $\alpha<= 1$ e quindi dal criterio integrale la serie fa lo stesso