Convergenza serie numerica
Ciao a tutti ragazzi! Ho questa serie...
$\sum^{\infty} log(5^n+4)/((n^(10/3))(e^(2/n)-1))$
Ho usato Taylor per l'esponenziale, trasformandolo in $2/n$ e poi ho provato a considerare il $log(5^n)$ come maggiore di n (dato che 5>e). Sono quasi sicuro che sia demenziale da quel punto in poi eppure sono in stallo perchè mi ritrovo con una serie minore di una che diverge... un pugno di mosche!
Grazie a chi mi potrà aiutare e grazie lo stesso a chi ci proverà!
$\sum^{\infty} log(5^n+4)/((n^(10/3))(e^(2/n)-1))$
Ho usato Taylor per l'esponenziale, trasformandolo in $2/n$ e poi ho provato a considerare il $log(5^n)$ come maggiore di n (dato che 5>e). Sono quasi sicuro che sia demenziale da quel punto in poi eppure sono in stallo perchè mi ritrovo con una serie minore di una che diverge... un pugno di mosche!
Grazie a chi mi potrà aiutare e grazie lo stesso a chi ci proverà!
Risposte
poichè si tratta di una serie a positivi, ti basta osservare che il numeratore si comporta asintoticamente come $n\ln5,$ mentre per il denominatore hai
\[n^{10/3}(e^{2/n}-1)\sim \frac{2n^{10/3}}{n}=2n^{7/3},\]
quindi
\[\frac{\ln(5^n+4)}{n^{10/3}(e^{2/n}-1)}\sim \frac{n\ln5}{2n^{7/3}}= \frac{ \ln5}{2n^{4/3}}.....\]
\[n^{10/3}(e^{2/n}-1)\sim \frac{2n^{10/3}}{n}=2n^{7/3},\]
quindi
\[\frac{\ln(5^n+4)}{n^{10/3}(e^{2/n}-1)}\sim \frac{n\ln5}{2n^{7/3}}= \frac{ \ln5}{2n^{4/3}}.....\]
Questo conferma la mia evidente carenza visiva. Non vedo neanche ad un palmo dal naso! Grazie mille Noisemaker!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo