Convergenza serie laurent
Supponiamo di voler sviluppare una funzione in serie di laurent attorno ad un punto,io so che la serie converge dentro una corona circolare di raggi $R1$
ed $R2$ dove la funzione è analitica. Come si trovano questi raggi? Io pensavo di fare così:
visto che la funzione per convergere dentro la corona deve essere analitica, per prima cosa mi trovo i poli della funzione poi mi calcolo il modulo dei poli che supponiamo siano $1$ e $7$ in questo modo la serie dovrebbe convergere dentro una corona di raggi $R1=1$ ed $R2=7$, ovviamente supponendo di fare lo sviluppo attorno lo zero.Dico bene?Se invece mi viene chiesto di fare lo sviluppo attorno un punto diverso da zero? io penso che si possa fare un cambio di variabile , per esempio dire per quali valori di z la serie converge , facendo lo sviluppo attorno $z=1$
$1/(z-1)$ si può scrivere $z-1=u$ cosi il problema si riduce $1/u$ quindi la serie converge per tutti i valori $u$ diversi da zero quindi per tutti i valori $z$ diversi da 1.Dico bene? Grazie
ed $R2$ dove la funzione è analitica. Come si trovano questi raggi? Io pensavo di fare così:
visto che la funzione per convergere dentro la corona deve essere analitica, per prima cosa mi trovo i poli della funzione poi mi calcolo il modulo dei poli che supponiamo siano $1$ e $7$ in questo modo la serie dovrebbe convergere dentro una corona di raggi $R1=1$ ed $R2=7$, ovviamente supponendo di fare lo sviluppo attorno lo zero.Dico bene?Se invece mi viene chiesto di fare lo sviluppo attorno un punto diverso da zero? io penso che si possa fare un cambio di variabile , per esempio dire per quali valori di z la serie converge , facendo lo sviluppo attorno $z=1$
$1/(z-1)$ si può scrivere $z-1=u$ cosi il problema si riduce $1/u$ quindi la serie converge per tutti i valori $u$ diversi da zero quindi per tutti i valori $z$ diversi da 1.Dico bene? Grazie
Risposte
provo a postare un' esercizio che non riesco a capire data la funzione $f(z)=z^2/((e^z-e^(-1+i))(2z-i+1))$
Si determinino i coefficieti della serie di laurent $c1$ e $c-1$ di f(z) centrata in z=0 e se è valido in un intorno di $w=2+i$
I poli sono $z=-1/2+i/2$ e $z=-1+i(2k\pi+1)$ il modulo del primo è $1/2^(1/2)$ per il secondo $(2+4k^2(\pi)^2+4k\pi)^(1/2)$
se $k=0$ $z1=sqrt(2)$ se k=1 $z2=sqrt(2+4(\pi)^2+4\pi)$
perciò io direi che il punto $w$
si trova dentro la corona circolare di raggio $z1$ e $z2$ dove inoltre la serie di laurent converge. ma nelle soluzioni viene scritto che li raggi della corona sono$sqrt(2)$ e $sqrt((4\pi)^2-2\pi)$
chi sbaglia?
Si determinino i coefficieti della serie di laurent $c1$ e $c-1$ di f(z) centrata in z=0 e se è valido in un intorno di $w=2+i$
I poli sono $z=-1/2+i/2$ e $z=-1+i(2k\pi+1)$ il modulo del primo è $1/2^(1/2)$ per il secondo $(2+4k^2(\pi)^2+4k\pi)^(1/2)$
se $k=0$ $z1=sqrt(2)$ se k=1 $z2=sqrt(2+4(\pi)^2+4\pi)$
perciò io direi che il punto $w$
si trova dentro la corona circolare di raggio $z1$ e $z2$ dove inoltre la serie di laurent converge. ma nelle soluzioni viene scritto che li raggi della corona sono$sqrt(2)$ e $sqrt((4\pi)^2-2\pi)$
chi sbaglia?
mi potreste aiutare ,tra qualche giorno ho un' esame
uppp
auop
Ciao.
Io mi trovo con te.
Approssimativamente abbiamo $|w|=2,236$, $|z|=1,414$ (per $k=0$) e $|z|=7,348$ (per $k=1$).
Questo vuol dire che $w$ è contenuto nella corona circolare i cui raggi sono quelli che hai detto tu.
Può darsi che sia solo un errore di stampa; prova a finire l'esercizio e vedi se ti trovi con i coefficienti.
Per farlo ti consiglio di applicare la definizione di coefficiente di Laurent:
$c_n = 1/(2 pi i) int_(gamma) f(z)/(z - z_0)^(n+1) dz$ (con $n=1,-1$ e $z_0=0$)
Come percorso di integrazione prendi una circonferenza centrata nell'origine e di raggio pari a $|w|$
Io mi trovo con te.
Approssimativamente abbiamo $|w|=2,236$, $|z|=1,414$ (per $k=0$) e $|z|=7,348$ (per $k=1$).
Questo vuol dire che $w$ è contenuto nella corona circolare i cui raggi sono quelli che hai detto tu.
Può darsi che sia solo un errore di stampa; prova a finire l'esercizio e vedi se ti trovi con i coefficienti.
Per farlo ti consiglio di applicare la definizione di coefficiente di Laurent:
$c_n = 1/(2 pi i) int_(gamma) f(z)/(z - z_0)^(n+1) dz$ (con $n=1,-1$ e $z_0=0$)
Come percorso di integrazione prendi una circonferenza centrata nell'origine e di raggio pari a $|w|$
Ciao vinx ...
in quei cavolo di esercizi risolti ci sono una marea di errori.Be adesso apro un'altro topic sulla convergenza uniforme
in quei cavolo di esercizi risolti ci sono una marea di errori.Be adesso apro un'altro topic sulla convergenza uniforme
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo