Convergenza serie $L^1(0,1]$,unif ecc
Buongiorno a tutti!
Mi stavo arrovelando su un esercizio sulle convergenze ma con errori e dubbi al seguito.
Sia definita per $k>1$ $ X_k={ ( 1 1/(k+1)
La mi vengono chieste le convergenze: uniforme, puntuale, in $L^(0,1]$,in $S^1$
La successione di funzioni graficamente la vedo, sono a supporto disgiunto e si vanno a schiacciare crescendo in altezza su $0$ all'infinito(una specie di delta).
Per cui la convergenza mi verrebbe da dedurne che non sia uniforme,e forse uniforme sui compatti e puntuale su $RR-{0}$.
Poi per $L^1(0,1]$ dovrebbe anche convergere:
($ lim_(k)int_(0)^(1) |kX_k(t)| dt= lim_(k)kint_(0)^(1) X_k(t) dt= lim_(k)kint_(1/(k+1))^(1/k) 1 dt= lim_(k)k(-1/(k(k+1)))=0 $)
Magari qualcuno può darmi qualche dritta e rigore su questo tipo di esercizi di cui non ho pratica.Ciao!
Mi stavo arrovelando su un esercizio sulle convergenze ma con errori e dubbi al seguito.
Sia definita per $k>1$ $ X_k={ ( 1 1/(k+1)
La mi vengono chieste le convergenze: uniforme, puntuale, in $L^(0,1]$,in $S^1$
La successione di funzioni graficamente la vedo, sono a supporto disgiunto e si vanno a schiacciare crescendo in altezza su $0$ all'infinito(una specie di delta).
Per cui la convergenza mi verrebbe da dedurne che non sia uniforme,e forse uniforme sui compatti e puntuale su $RR-{0}$.
Poi per $L^1(0,1]$ dovrebbe anche convergere:
($ lim_(k)int_(0)^(1) |kX_k(t)| dt= lim_(k)kint_(0)^(1) X_k(t) dt= lim_(k)kint_(1/(k+1))^(1/k) 1 dt= lim_(k)k(-1/(k(k+1)))=0 $)
Magari qualcuno può darmi qualche dritta e rigore su questo tipo di esercizi di cui non ho pratica.Ciao!
Risposte
Ma se la successione delle \(X_k\) è definita per \(k>1\) come puoi considerare quella serie doppia? 
$k>1$ è riferito solo alla definizione della prima successione, ammetto che è fraintendibile:)
Appunto, se puoi scrivere in modo dissolvere i fraintendimenti dato che continuo a non capire. 
Ho ricontrollato la traccia ed è proprio così.
Definisce quela successione di funzioni caratteristiche per $k>1$ e poi dice di prendere in considerazione la serie bilatera del prodotto di k per questa successione.Cosa non torna?
Definisce quela successione di funzioni caratteristiche per $k>1$ e poi dice di prendere in considerazione la serie bilatera del prodotto di k per questa successione.Cosa non torna?
Quanto dovrebbe valere $X_k$ se $k\le0$? Non c'è scritto. E non dire che vale zero perché sei fuori dagli intervalli, perché da nessuno parte è stata definita $X_k$ con gli indici negativi!
hai ragione, mio errore, mi accorgo di non aver scritto che k sono interi scusate.
riapro perchè vorrei risolverlo
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