Convergenza Serie Fourier
Salve a tutti, vorrei chiedervi un parere su un esercizio che ho bisogno di risolvere
il testo dell’esercizio è il seguente :
Calcolare la F-trasformata della replica periodica x(t), di periodo T=2π, del segnale che vale
$sin(t)$ se $t in [-π,0[$ e $2sin(t)$ se $ t in [0, π[ $
Scrivere inoltre la serie di fourier di x(t) precisando il tipo di convergenza.
Non ho avuto problemi a scrivere la F-trasformata e a calcolare la serie di Fourier, il problema mi si pone nello stabilire il tipo di convergenza, sulle dispense dalle quali studio ci sono due teoremi a riguardo, uno parla della convergenza nel senso puntuale e dice che
un segnale definito nello spazio di lebesgue delle funzioni sommabili (devo verificare la sommabilità?) , periodico (come nel mio caso) e regolarizzato in $t_0$ (e nel mio caso mi pare che la funzione sia regolarizzata in tutti i punti dell’intervallo [-π, π[ ) è convergente in tale punto (puntualmente) a $x(t_0)$
quindi stando a questo teorema la mia funzione converge puntualmente per ogni punto dell’intervallo a $x(t)$ (vero?)
poi c’è un teorema sulla convergenza nel senso dell’energia e mi pare di aver capito che l’unica condizione che si pone affinchè la funzione sia convergente nel senso dell’energia è che la funzione appartenga allo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, quindi dovrei verificare che
$\int_{-π}^{π}|x(t)|^2 dt < +\infty$ ?
E se dovessi verificare, come potrei farlo? Ho delle difficoltà a farlo perché credo sia abbastanza complesso, pensavo che potrei ragionare sul grafico che invece può essere più semplice, in fondo non devo calcolare l’integrale, solo verificare che sia finito.
grazie della pazienza se avete letto fin qui, spero possiate aiutarmi
il testo dell’esercizio è il seguente :
Calcolare la F-trasformata della replica periodica x(t), di periodo T=2π, del segnale che vale
$sin(t)$ se $t in [-π,0[$ e $2sin(t)$ se $ t in [0, π[ $
Scrivere inoltre la serie di fourier di x(t) precisando il tipo di convergenza.
Non ho avuto problemi a scrivere la F-trasformata e a calcolare la serie di Fourier, il problema mi si pone nello stabilire il tipo di convergenza, sulle dispense dalle quali studio ci sono due teoremi a riguardo, uno parla della convergenza nel senso puntuale e dice che
un segnale definito nello spazio di lebesgue delle funzioni sommabili (devo verificare la sommabilità?) , periodico (come nel mio caso) e regolarizzato in $t_0$ (e nel mio caso mi pare che la funzione sia regolarizzata in tutti i punti dell’intervallo [-π, π[ ) è convergente in tale punto (puntualmente) a $x(t_0)$
quindi stando a questo teorema la mia funzione converge puntualmente per ogni punto dell’intervallo a $x(t)$ (vero?)
poi c’è un teorema sulla convergenza nel senso dell’energia e mi pare di aver capito che l’unica condizione che si pone affinchè la funzione sia convergente nel senso dell’energia è che la funzione appartenga allo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, quindi dovrei verificare che
$\int_{-π}^{π}|x(t)|^2 dt < +\infty$ ?
E se dovessi verificare, come potrei farlo? Ho delle difficoltà a farlo perché credo sia abbastanza complesso, pensavo che potrei ragionare sul grafico che invece può essere più semplice, in fondo non devo calcolare l’integrale, solo verificare che sia finito.
grazie della pazienza se avete letto fin qui, spero possiate aiutarmi
Risposte
Devi solo calcolare il seguente integrale:
$$\int_{-\pi}^0|\sin t|^2\ dt+\int_0^\pi|2\sin t|^2\ dt$$
$$\int_{-\pi}^0|\sin t|^2\ dt+\int_0^\pi|2\sin t|^2\ dt$$
davvero si può scrivere in questo modo? il quadrato lo permette?
anche io avevo pensato di scriverlo così ma quel valore assoluto al quadrato mi aveva depistata
e per quanto riguarda la convergenza puntuale sto ragionando in modo giusto?
grazie mille comunque
anche io avevo pensato di scriverlo così ma quel valore assoluto al quadrato mi aveva depistata
e per quanto riguarda la convergenza puntuale sto ragionando in modo giusto?
grazie mille comunque
Ehm... $|x|^2=x^2$....
oh... che scema 
sto troppo agitata per l'esame XD
grazie ^_^
sto troppo agitata per l'esame XD
grazie ^_^
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