Convergenza serie di potenze
Salve ragazzi. Ho dei problemi a studiare queste due serie di potenze, soprattutto nella convergenza della serie agli estremi dell'intervallo di convergenza:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\ (e^{\frac {1} {n^2}}-1) (x-1)^n \)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\ (e^{\frac {1} {n^2}}-1) (x-1)^n \)
Dovrebbe essere raggio di convergenza uguale 1 e centro di convergenza uguale ad 1.
Il professore, durante la spiegazione ha parlato di convergenza riferendosi all'esponente, dicendo qualcosa del tipo: "... converge perché del secondo ordine!". Mi spieghereste anche questa affermazione?
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\ (e^{\frac {1} {n^2}}-1) (x-1)^n \)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\ (e^{\frac {1} {n^2}}-1) (x-1)^n \)
Dovrebbe essere raggio di convergenza uguale 1 e centro di convergenza uguale ad 1.
Il professore, durante la spiegazione ha parlato di convergenza riferendosi all'esponente, dicendo qualcosa del tipo: "... converge perché del secondo ordine!". Mi spieghereste anche questa affermazione?
Risposte
per quanto riguarda la prima serie,$a_0$ non è definito
per quanto riguarda la seconda serie ricordiamo che il raggio di convergenza $R$ è dato dalla formula
$ R=lim_(n rarr+infty) a_n/a_(n+1) $
ma per $n rarr +infty$, $ a_n~ 1/n^2;a_(n+1)~ 1/(n+1)^2 $
quindi , $R= lim_(n -> +infty)(n+1)^2/n^2=1 $
per quanto riguarda la seconda serie ricordiamo che il raggio di convergenza $R$ è dato dalla formula
$ R=lim_(n rarr+infty) a_n/a_(n+1) $
ma per $n rarr +infty$, $ a_n~ 1/n^2;a_(n+1)~ 1/(n+1)^2 $
quindi , $R= lim_(n -> +infty)(n+1)^2/n^2=1 $
Per la convergenza totale, invece?
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