Convergenza Serie di funzioni Dubbio + esercizio
Dubbio: il teorema del confronto e del confronto asintotico per serie numerica,
si generalizza al caso delle serie di funzioni?
cioè posso dire:
<< Date $f_n$ e $g_n$ due successioni di funzioni limitate definite in uno stesso Intervallo I,
Se $f_n <= g_n$ e Serie $sum_(n=0)^oo g_n(x) $ converge puntualmente per ogni $x in I$
allora anche $sum_(n=0)^oo f_n(x) $ converge puntualmente >>
(sul testo non ho trovato nulla di simile, quindi chiedo).
Avrei bisogno di sapere se il mio svolgimento è corretto.
Esercizio: Si consideri la serie di funzioni: $ sum_(n=0)^oo cosx(sinx)^(n+sqrtn) $
i) Determinare l'insieme $I sube [0,2pi] $ dei punti in cui la serie converge puntualmente
ii) Stabilire se la serie converge totalmente in I o in un intervallo in esso contenuto.
i)
La prima cosa che posso fare è:
provare ad applicare la definizione di "serie di funzioni assolutamente convergente"
Dunque ragiono sulla: $ sum_(n=0)^oo |cosx(sinx)^(n+sqrtn)| $
ed ho che :
per studiare la convergenza di questa nuova serie di funzioni , possiamo
" fissare x e provare a confrontare la serie numerica ottenuta con una serie numerica notevole
(ad es. una serie geometrica)".
- [Per $x!= pi/2,3pi/2$]abbiamo che $|sinx|<1$
dunque posso dire che:
$|cosx(sinx)^(n+sqrtn)|<=|cosx||sinx|^(n+sqrtn)$ per la disuguaglianza triangolare
$=|cosx| |sinx|^n |sinx|^sqrtn $
$<= |cosx| |sinx|^n$
, perché il valore assoluto del seno è una funzione limitata tra 0 ed 1
Ora , $|cosx|= alpha in R -{0}$ per la condizione imposta sulle x.
e $|sinx|^n= q^n$ con $0convergente (semplicemente).
Risultato: per il [teorema del confronto tra serie numeriche] abbiamo che:
$ sum_(n=0)^oo |cosx| |sinx|^n$ converge $rArr sum_(n=0)^oo |cosx(sinx)^(n+sqrt(n))| $ converge $AA x in R-{pi/2,3pi/2}$
Ma allora : $sum_(n=0)^oo cosx(sinx)^(n+sqrt(n))$ $ AA x in R-{pi/2,3pi/2}$ è una serie "numerica" che ha convergenza assoluta
Di conseguenza è anche una serie numerica che converge con convergenza "semplice" $AA x in R-{pi/2,3pi/2}$
-[ Fissati invece $x=pi/2,3pi/2$] , in questi punti abbiamo che: $cosx=0$
quindi
quella serie di funzioni si riduce ad essere una serie di funzioni costanti
ma
una serie di funzioni costanti è una serie numerica
nel nostro caso:
$sum_(n=0)^oo 0=0$
In altre parole: in questi punti,
quella serie di funzioni si riduce ad essere una serie numerica che converge semplicemente.
Risultato finale:
la serie di funzioni converge "puntualmente" in tutto l'intervallo $[0,2pi]$
perché abbiamo dimostrato che "le serie numeriche" che si ottengono per x uguale e diverso da $pi/2$ e $3/2pi$ convergono semplicemente
ii) Per quanto riguarda la convergenza totale :
non abbiamo convergenza totale in tutto l'intervallo $[0,2pi]$
perché
- per $x!= pi/2,3/2pi$ , la serie di funzioni converge alla somma della serie geometrica di ragione $q=|sinx|$
ovvero a $1/(1-|sinx|)$
- per $x= pi/2,3/2pi$ , la serie di funzioni converge alla funzione costante: 0
Mi servirebbe sapere se lo svolgimento è corretto.
E soprattutto sugli step in cui: al fine di applicare teoremi delle serie numeriche,
"converto" la serie di funzioni --> in serie numerica.
si generalizza al caso delle serie di funzioni?
cioè posso dire:
<< Date $f_n$ e $g_n$ due successioni di funzioni limitate definite in uno stesso Intervallo I,
Se $f_n <= g_n$ e Serie $sum_(n=0)^oo g_n(x) $ converge puntualmente per ogni $x in I$
allora anche $sum_(n=0)^oo f_n(x) $ converge puntualmente >>
(sul testo non ho trovato nulla di simile, quindi chiedo).
Avrei bisogno di sapere se il mio svolgimento è corretto.
Esercizio: Si consideri la serie di funzioni: $ sum_(n=0)^oo cosx(sinx)^(n+sqrtn) $
i) Determinare l'insieme $I sube [0,2pi] $ dei punti in cui la serie converge puntualmente
ii) Stabilire se la serie converge totalmente in I o in un intervallo in esso contenuto.
i)
La prima cosa che posso fare è:
provare ad applicare la definizione di "serie di funzioni assolutamente convergente"
Dunque ragiono sulla: $ sum_(n=0)^oo |cosx(sinx)^(n+sqrtn)| $
ed ho che :
per studiare la convergenza di questa nuova serie di funzioni , possiamo
" fissare x e provare a confrontare la serie numerica ottenuta con una serie numerica notevole
(ad es. una serie geometrica)".
- [Per $x!= pi/2,3pi/2$]abbiamo che $|sinx|<1$
dunque posso dire che:
$|cosx(sinx)^(n+sqrtn)|<=|cosx||sinx|^(n+sqrtn)$ per la disuguaglianza triangolare
$=|cosx| |sinx|^n |sinx|^sqrtn $
$<= |cosx| |sinx|^n$
, perché il valore assoluto del seno è una funzione limitata tra 0 ed 1
Ora , $|cosx|= alpha in R -{0}$ per la condizione imposta sulle x.
e $|sinx|^n= q^n$ con $0
Risultato: per il [teorema del confronto tra serie numeriche] abbiamo che:
$ sum_(n=0)^oo |cosx| |sinx|^n$ converge $rArr sum_(n=0)^oo |cosx(sinx)^(n+sqrt(n))| $ converge $AA x in R-{pi/2,3pi/2}$
Ma allora : $sum_(n=0)^oo cosx(sinx)^(n+sqrt(n))$ $ AA x in R-{pi/2,3pi/2}$ è una serie "numerica" che ha convergenza assoluta
Di conseguenza è anche una serie numerica che converge con convergenza "semplice" $AA x in R-{pi/2,3pi/2}$
-[ Fissati invece $x=pi/2,3pi/2$] , in questi punti abbiamo che: $cosx=0$
quindi
quella serie di funzioni si riduce ad essere una serie di funzioni costanti
ma
una serie di funzioni costanti è una serie numerica
nel nostro caso:
$sum_(n=0)^oo 0=0$
In altre parole: in questi punti,
quella serie di funzioni si riduce ad essere una serie numerica che converge semplicemente.
Risultato finale:
la serie di funzioni converge "puntualmente" in tutto l'intervallo $[0,2pi]$
perché abbiamo dimostrato che "le serie numeriche" che si ottengono per x uguale e diverso da $pi/2$ e $3/2pi$ convergono semplicemente
ii) Per quanto riguarda la convergenza totale :
non abbiamo convergenza totale in tutto l'intervallo $[0,2pi]$
perché
- per $x!= pi/2,3/2pi$ , la serie di funzioni converge alla somma della serie geometrica di ragione $q=|sinx|$
ovvero a $1/(1-|sinx|)$
- per $x= pi/2,3/2pi$ , la serie di funzioni converge alla funzione costante: 0
Mi servirebbe sapere se lo svolgimento è corretto.
E soprattutto sugli step in cui: al fine di applicare teoremi delle serie numeriche,
"converto" la serie di funzioni --> in serie numerica.
Risposte
Ciao CallistoBello,
Se la serie è effettivamente questa e non quella che
non capisco la necessità di portarsi dietro il coseno che non dipende da $n$, per cui si ha:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} cosx(sinx)^(n+sqrtn) = cosx \sum_{n = 0}^{+\infty} (sinx)^(n+sqrtn) $
L'ultima serie scritta converge per $|sinx| < 1 $
"CallistoBello":
Esercizio: Si consideri la serie di funzioni: $ \sum_{n = 0}^{+\infty} cosx(sinx)^(n+sqrtn) $
Se la serie è effettivamente questa e non quella che
"CallistoBello":
Dunque ragiono sulla: $ \sum_{n = 0}^{+\infty} |cos(sinx)^(n+sqrtn)| $
non capisco la necessità di portarsi dietro il coseno che non dipende da $n$, per cui si ha:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} cosx(sinx)^(n+sqrtn) = cosx \sum_{n = 0}^{+\infty} (sinx)^(n+sqrtn) $
L'ultima serie scritta converge per $|sinx| < 1 $
"pilloeffe":Si , è questa.
Ciao CallistoBello,
CallistoBello ha scritto:
Esercizio: Si consideri la serie di funzioni: ∑n=0+∞cosx(sinx)n+n√
"CallistoBello":
on capisco la necessità di portarsi dietro il coseno che non dipende da n,
Si, in effetti la somma agisce solo sul seno.
"pilloeffe":
L'ultima serie scritta converge per |sinx|<1
Non bisognerebbe prima ricondursi alla serie geometrica di ragione $|sinx|$ ?
"CallistoBello":
Dubbio: il teorema del confronto e del confronto asintotico per serie numerica,
si generalizza al caso delle serie di funzioni?
cioè posso dire:
<< Date $f_n$ e $g_n$ due successioni di funzioni limitate definite in uno stesso Intervallo I,
Se $f_n <= g_n$ e Serie $sum_(n=0)^oo g_n(x) $ converge puntualmente per ogni $x in I$
allora anche $sum_(n=0)^oo f_n(x) $ converge puntualmente >>
(sul testo non ho trovato nulla di simile, quindi chiedo).
Questa cosa è falsa già nel caso delle serie numeriche...
"CallistoBello":
Non bisognerebbe prima ricondursi alla serie geometrica di ragione $|sinx|$ ?
Beh sì, ma come hai già intuito
$\sum_{n = 0}^{+\infty} |sin x|^{n + \sqrtn} \le \sum_{n = 0}^{+\infty} |sin x|^n = 1/(1 - |sin x|) $
La condizione $|sin x| < 1 $ è sicuramente verificata, fatta eccezione per i casi che hai già menzionato.
"gugo82":
[quote="CallistoBello"]Dubbio: il teorema del confronto e del confronto asintotico per serie numerica,
si generalizza al caso delle serie di funzioni?
cioè posso dire:
<< Date $ f_n $ e $ g_n $ due successioni di funzioni limitate definite in uno stesso Intervallo I,
Se $ f_n <= g_n $ e Serie $ sum_(n=0)^oo g_n(x) $ converge puntualmente per ogni $ x in I $
allora anche $ sum_(n=0)^oo f_n(x) $ converge puntualmente >>
(sul testo non ho trovato nulla di simile, quindi chiedo).
Questa cosa è falsa già nel caso delle serie numeriche...
[/quote]Il teorema che ho cercato di generalizzare alle serie di funzioni era quello per cui:
<
i) se $sum b_n$ converge, allora anche $sum a_n$ converge e si ha che:
i "valori" somma a cui convergono "conservano" la disuguaglianza tra le successioni
ovvero: $sum a_n <= sum b_n$
ii)se $sum a_n$ diverge --> allora anche $sum b_n$ diverge >>
In che senso falsa per le serie numeriche?
"pilloeffe":
[quote="CallistoBello"]Non bisognerebbe prima ricondursi alla serie geometrica di ragione $ |sinx| $ ?
Beh sì, ma come hai già intuito
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} |sin x|^{n + \sqrtn} \le \sum_{n = 0}^{+\infty} |sin x|^n = 1/(1 - |sin x|) $
La condizione $ |sin x| < 1 $ è sicuramente verificata, fatta eccezione per i casi che hai già menzionato.[/quote]
Ok quindi è corretto .
Quello su cui non ero sicuro in questi passaggi è riassumibile nelle domande:
DOMANDA 1: è corretto dire che:
- nel momento in cui fissiamo $x$ in un qualsiasi intervallo ,
quella serie di funzioni diventa automaticamente una serie numerica?
E cioè distinguere:
A)$sum f(x)$ serie di funzioni
B)$sum f(x)$ con $x in [a,b]$ serie numerica
DOMANDA 2:
Considerato che "fissare la $x$" (sia essa in un intervallo oppure soltanto in un punto)
--> mi abilita ad utilizzare i teoremi per le serie numeriche
Mostrare che:
B) $sum f(x)$ con $x in [a,b]$ converge (semplicemente)
equivale a mostrare che:
A) $sum f(x)$ converge puntualmente in $[a,b]$ ?
E per quanto riguarda la convergenza totale?
Il mio risultato è corretto?
E la giustificazione regge?
"CallistoBello":
In che senso falsa per le serie numeriche?
Confronta l'enunciato (dimostrabilmente vero) del tuo ultimo post con quello (dimostrabilmente falso) del tuo primo post: vedi le differenze?
Che le funzioni $f_n$ e $g_n$ devono essere anche positive?
E cioè la condizione da verificare è che: $0<=f_n(x)<=g_n(x) AA x in I$
E cioè la condizione da verificare è che: $0<=f_n(x)<=g_n(x) AA x in I$
La risposta alle tue domande 1 e 2 mi pare abbastanza ovvia... 
Ti consiglierei di dare un'occhiata a questo thread nel quale dovresti trovare risposta ai tuoi dubbi.
"CallistoBello":
E per quanto riguarda la convergenza totale?
Ti consiglierei di dare un'occhiata a questo thread nel quale dovresti trovare risposta ai tuoi dubbi.
"CallistoBello":
Che le funzioni $f_n$ e $g_n$ devono essere anche positive?
E cioè la condizione da verificare è che: $0<=f_n(x)<=g_n(x) AA x in I$
Già... Altrimenti puoi produrre un controesempio con funzioni molto semplici.
Prova.
"pilloeffe":
Ti consiglierei di dare un'occhiata a questo thread nel quale dovresti trovare risposta ai tuoi dubbi.
Si, ho visto che
"gugo82":
Non sto sottointendendo nulla, leggi bene.
Scrivere "per ogni x∈I converge la serie ∑|fn(x)|" equivale a scrivere "la serie ∑∣fn∣ converge puntualmente in I"
che è sostanzialmente quello che avevo intuito con la domanda2.
"CallistoBello":
DOMANDA 1: è corretto dire che:
- nel momento in cui fissiamo x in un qualsiasi intervallo ,
quella serie di funzioni diventa automaticamente una serie numerica?
E cioè distinguere:
A)∑f(x) serie di funzioni
B)∑f(x) con x∈[a,b] serie numerica
DOMANDA 2:
Considerato che "fissare la x" (sia essa in un intervallo oppure soltanto in un punto)
--> mi abilita ad utilizzare i teoremi per le serie numeriche
Mostrare che:
B) ∑f(x) con x∈[a,b] converge (semplicemente)
equivale a mostrare che:
A) ∑f(x) converge puntualmente in [a,b] ?
Ne desumo che: sia corretto applicare teoremi del confronto e del confronto asintotico per studiare la convergenza di una serie di funzioni "a patto di aver fissato l'Intervallo su cui vogliamo lavorare" (e dunque aver effettuato la conversione da "serie di funzioni" a "serie numerica")
@ CallistoBello: Per favore, cerca di attribuire le citazioni all'autore giusto.
Non credo di aver mai scritto quello che riporti tuo post.
Grazie.
Non credo di aver mai scritto quello che riporti tuo post.
Grazie.
dal thread linkato da pilloeffe
Ah, non avevo visto il link... Che non mi aspettavo portasse ad un mio post, tra l'altro.
Scusa, CallistoBello.
Scusa, CallistoBello.
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