Convergenza serie di funzioni

[phyro93]

Salve a tutti,
ho iniziato ad affrontare esercizi sulle serie di funzioni e vorrei un vostro aiuto per risolvere un paio di esercizi: devo determinare l'insieme di convergenza delle seguenti serie:

$sum_(n=1)^(oo)(1-cos^nx)/(n^3+n^2)$
$sum_(n=1)^(oo)(x^(2n)+2x^n)/n$

per ora per svolgere questi esercizi in tutti quelli fatti durante il corso abbiamo usato solo il criterio del rapporto, della radice e la maggiorazione (in particolare per dimostrare la convergenza totale). Inoltre mi chiedo esistono altri modi per determinare l'insieme di convergenza di una serie?

[Lorin1]

Inizia con lo studio della condizione necessaria per la convergenza di una serie!

[phyro93]

OK e dopo come continuo? Vi sono altri criteri oltre a quello del rapporto e della radice da poter usare? Poi per quanto riguarda le due serie che ho scritto ho risolto la seconda ma per la primacome posso procedere?

[Lorin1]

Potresti anche usare il criterio del confronto o quello del confronto asintotico. Dipende un pò dal tipo di serie che si sta studiando. Prova a postare il tuo ragionamento e magari ci soffermiamo dove si presenta il problema...

[phyro93]

"Lorin":Potresti anche usare il criterio del confronto o quello del confronto asintotico. Dipende un pò dal tipo di serie che si sta studiando. Prova a postare il tuo ragionamento e magari ci soffermiamo dove si presenta il problema...

Per la serie $sum_(n=1)^(oo)(1-cos^nx)/(n^3+n^2)$ ho pensato di fare cosi: poiché il coseno può variare solo fra $-1$ e $1$ ho sostituito questi due valori e trovo che:

$0<=sum_(n=1)^(oo)(1-cos^nx)/(n^3+n^2)<=sum_(n=1)^(oo)2/(n^3+n^2)<=sum_(n=1)^(oo)2/(n^3)$

togliendo $n^2$ perché è una quantità sempre positiva. Quindi ricordando che la serie armonica generalizzata converge se l'esponente di $n$ è maggiore di $1$ allora anche la serie di partenza converge. Il ragionamento va bene o ho sbagliato nelle maggiorazioni?

[Lorin1]

Si secondo me va bene