Convergenza serie di funzioni

[gygabyte017]

Determinare la convergenza della serie: $sum_(k=1)^(+oo) (2^k-1)/(k(x^(2k)-1))$

Allora, io ho fatto così:

Se $x=0$, per il criterio del rapporto (=2) la serie diverge puntualmente.
Se $x!=0$, usando il criterio del rapporto $(2^(k+1)-1)/(2^k-1)*k/(k+1)*(x^(2k)-1)/(x^(2k+2)-1) -> 2/(x^2)$ e quindi converge puntualmente sicuramente in $(sqrt2, +oo)$, $(-oo, -sqrt2)$. Per $x=+-sqrt2$ viene la serie armonica, quindi diverge puntualmente.

Ora, considero l'intervallo $[a,b]$, con $sqrt2

Mi sapete dire se è tutto corretto, o se mi manca qualcosa, distrazione, dimenticanza, incorrettezza?

Grazie

[ciampax]

Attento! Il limite che hai scritto per il criterio del rapporto vale $2/x^2$ se $|x|>1$ ! Cosa accade per $|x|< 1$ ? (Ragiona come per $x=0$).

[gygabyte017]

Ops è vero hai ragione... Quindi per $|x|<1$, il criterio del rapporto fa $2*(-1)/(-1)=2$ e quindi diverge puntualmente, e in $|x|=1$ la serie non ha senso, quindi rimangono le stesse conclusioni di prima.

E' ok ora?
Rigrazie!

[ciampax]

Esatto!