Convergenza serie di funzioni

[Sk_Anonymous]

ciao

ho la serie di funzioni $ \sum_{n=0}^{oo} n^(1/x)$

mi si chiede di calcolare l'insieme di convergenza puntuale e uniforme.

per la convergenza puntuale: si ha che la serie c. p. in $(-1;0)$. (in $x=-1$ non mi è chiaro perchè la serie non converga alla funzione somma $0$..)

per la c. uniforme, non saprei come procedere.
le funzioni che compongono la serie non sono continue, dunque non può sfruttarsi serie di f continue $\Rightarrow$ somma continua.
fissato x, trattasi di una serie armonica generalizzata di cui mi sfugge il calcolo della somma parziale (della serie resto).

chiedo aiuto, vi rigrazio

[ostrogoto1]

Per $ x=-1 $ serie armonica, quindi diverge.
C'e' poi un teoremino per il quale se una serie converge uniformemente allora il termine generale della serie deve convergere uniformemente alla funzione nulla. Ovviamente in questo caso non capita, quindi niente convergenza uniforme su (-1,0).
Prova su qualche intervallo contenuto in (-1,0).

[Sk_Anonymous]

grazie ostrogoto

ricordi qualcosa in più riguardo il teorema citato? Credo sia di fondamentale importanza, e non me lo ritrovo su appunti e dispense..

inoltre: correggimi se sbaglio, ma in questo caso il termine generale della serie non converge proprio alla funzione nulla , in $(-1;0)$?

[ostrogoto1]

Quello che ho chiamato "teoremino" affidandomi alla mia memoria, sul libro e' un corollario del criterio di Cauchy per la convergenza uniforme.
Scrivo entrambi.
Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme $ sum_(k=0)^(+oo)u_k $ converge uniformemente su E se e solo se $ AAepsilon>0 EEn_0=n_0(epsilon) : AAp>=n_0 $ e $ AAq>=0 $ si ha
$ Sup_(x\inE)|sum_(k=p)^(p+q)u_k(z)|
Dal criterio di Cauchy si ricvava un'importante condizione necessaria di convergenza uniforme per le serie di funzioni.

Cor. Se la serie $ sum_(k=0)^(+oo)u_k $ converge uniformemente su E, allora $ {u_k} $ converge uniformemente alla funzione nulla.

Dim.In breve si prende q=0 nella formula precedente

Devo riflettere un attimo per la convergenza uniforme...

[Sk_Anonymous]

[ostrogoto1]

Non c'e' convergenza uniforme su $ (-1,0) $. Uso il criterio di Cauchy.
$ (q-p)Sup_(x\in(-1,0))(p+q)^(1/n)<=Sup_(x\in(-1,0))sum_(k=p)^(p+q)n^(1/x) $ (*)
$ (q-p)Sup(p+q)^(1/x)=(q-p)/(p+q)rarr1 $ per $ prarr+oo $ quindi il criterio non e' verificato.

La (*) e' data da:

$ (n+1)^(1/x) quindi $ (p+q)^(1/x)+(p+q)^(1/x)+...+(p+q)^(1/x) essendo i termini nella diseguaglianza (q-p) segue
$ (q-p)(p+q)^(1/x)

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

ti ringrazio

un'ultima cosa: è da ieri che mi arrovello sul significato del corollario alla criterio c.u. di Cauchy che mi hai proposto stamattina..

non riesco a capire come mai, per la c.u. di una serie, questa debba necessariamente convergere alla funzione nulla (che sarebbe, in soldoni, l'asse x nell'intervallo di c.u. considerato...)

[ostrogoto1]

Nel corollario si chiede che il termine generale della serie converga uniformemente alla funzione nulla, non la serie!
In altre parole data $ sum_(n=0)^(+oo)a_n(x) $, nel corollario si chiede che la successione $ {a_n(x)} $ converga uniformemente alla funzione nulla, non la serie la cui somma puo' essere diversa dalla funzione nulla.
E' un po' la stessa cosa della condizione necessaria di convergenza per le serie dove si richiede che il termine generale vada a 0; per esempio $ sum_(n=0)^(+oo)1/n^2 $ la condizione richiede che $ 1/n^2rarr0 $ per $ nrarr+oo $ ed e' verificata ma la serie non converge a 0 ma a $ pi^2/6 $.