Convergenza serie di funzioni
Ciao ragazzi, sono ad un primo approccio con le serie di funzioni e mi trovo in difficoltà forse con il linguaggio. La definizione che si incontra è quella di convergenza puntuale. Allora, faccio un po di confusione con tutte queste $f_n$ che ci sono. Il libro propone dicendo che in un certi intervallo I sono definite le funzioni $f_n$ , per n=1,2,3... E va bene, sono tante funzioni diverse tra loro al variare dell'indice n, ora si puo considerare la successione di numeri reali fn(x), n=1,2... e si puo poi considerarne la sua serie. Quindi ditemi se sbaglio, alla fine io mi aspetterò un numero reale, dopo aver sostituito una certa x. Ecco, questa serie puo convergere, divergere o essere irregolare... MA andando avanti vedo che ci sono degli esempi grafici, dove tutte le mie fn convergono ad una certa f(x) che viene chiamata funzione somma...Il nocciolo della questione è: quando si parla ci convergenza ci si riferisce ad un numero o ad una funzione? Grazie in anticipo..
Risposte
Buona sera alby
Ti viene data una successione i cui elementi sono delle funzioni:
${f_n}$ tutte definite in un insieme non vuoto diciamolo $X$.
Se $x_0inX$ la scrittura $ lim_(n )f_n(x_0) $ identifica l' operazione di ricerca del limite di una successione di numeri reali.
Se tale limite esiste diciamolo $f(x_0)$.
Diciamo pure che la successione di funzioni è convergente (puntualmente) in $x_0$.
Orbene diciamo $ Asube X $ il sottoinsieme in cui la successione di funzioni converge puntualmente.
Dunque si definisce: $ f(x)=lim_(n)f_n(x) $ in tutti i punti di $A$.
Tale funzione è il limite (puntuale) della successione ed è una funzione definita in $A$ e a valori reali.
saluti
Mino
Ti viene data una successione i cui elementi sono delle funzioni:
${f_n}$ tutte definite in un insieme non vuoto diciamolo $X$.
Se $x_0inX$ la scrittura $ lim_(n )f_n(x_0) $ identifica l' operazione di ricerca del limite di una successione di numeri reali.
Se tale limite esiste diciamolo $f(x_0)$.
Diciamo pure che la successione di funzioni è convergente (puntualmente) in $x_0$.
Orbene diciamo $ Asube X $ il sottoinsieme in cui la successione di funzioni converge puntualmente.
Dunque si definisce: $ f(x)=lim_(n)f_n(x) $ in tutti i punti di $A$.
Tale funzione è il limite (puntuale) della successione ed è una funzione definita in $A$ e a valori reali.
saluti
Mino
Il libro non mi tira fuori la nozione coi limiti.. ma mi fa con le serie.... ciò che dico è: la convergenza a cui si parla è piu da vedersi come una cosa grafica ( ossia tante funzioni che convergono ad una certa funzione ) oppure piu una cosa analitica guardando cosa succede quando le fn tendono n ad infinito?
Il tipo di convergenza che ho descritto è quella puntuale.
Te alludi alla convergenza uniforme?
Peraltro lo studio di una successione è equivalente allo studio di una serie .
....
Te alludi alla convergenza uniforme?
Peraltro lo studio di una successione è equivalente allo studio di una serie .
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Io alludo alla convergenza puntuale e totale... cosa si intende per convergenza. A cosa converga la funzione ( numero, altra funzione? ).
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