Convergenza Serie di Funzioni
Salve, vi chiedo gentilmente di dirmi se il modo di procedere alla risoluzione dell’esercizio sia giusto e di togliermi qualche dubbio. L'esercizio è questo:
Studiare la convergenza della serie $ sum_(n =0 \)^oo ((n^2+1 )/(n^2+2))^2 x^n $
indicando gli eventuali intervalli in cui la convergenza è uniforme.
Trattandosi di una serie di potenze ho applicato il teorema di D’Alembert:
$ lim_(n -> oo ) |(a_(n+1))/a_n | = l $
facendo i calcoli trovo $ l=1 $ da cui segue che il raggio di convergenza è $ rho=1 $.
Per il teorema del raggio essendo $ 0< rho< oo $ la serie converge assolutamente in $ ]-1,1[ $ e totalmente in $ [-k,k] $ per $ 0
il mio problema è per $ x=-1 $ poiché ottengo la serie $ sum_(n =0 \)^oo ((n^2+1 )/(n^2+2))^2 (-1)^n $ a segni alterni
e non posso applicare Leibniz e non converge assolutamente...come fare?
Studiare la convergenza della serie $ sum_(n =0 \)^oo ((n^2+1 )/(n^2+2))^2 x^n $
indicando gli eventuali intervalli in cui la convergenza è uniforme.
Trattandosi di una serie di potenze ho applicato il teorema di D’Alembert:
$ lim_(n -> oo ) |(a_(n+1))/a_n | = l $
facendo i calcoli trovo $ l=1 $ da cui segue che il raggio di convergenza è $ rho=1 $.
Per il teorema del raggio essendo $ 0< rho< oo $ la serie converge assolutamente in $ ]-1,1[ $ e totalmente in $ [-k,k] $ per $ 0
il mio problema è per $ x=-1 $ poiché ottengo la serie $ sum_(n =0 \)^oo ((n^2+1 )/(n^2+2))^2 (-1)^n $ a segni alterni
e non posso applicare Leibniz e non converge assolutamente...come fare?
Risposte
Con $x=-1$ hai una serie a termini di segno alternato. Il termine generale non è infinitesimo quindi non converge neanche in modo assoluto.
Ti ringrazio per la risposta...non avevo fatto caso che il termine generale della serie non era infinitesimo per x=-1.
Quindi per completare l'esercizio mi rimane da verificare la convergenza uniforme in ]-1,-k] e [k,1[ poiché la serie è puntualmente convergente in ]-1,1[ e so già che converge uniformemente in [-k,k] per k>0 ?
Quindi per completare l'esercizio mi rimane da verificare la convergenza uniforme in ]-1,-k] e [k,1[ poiché la serie è puntualmente convergente in ]-1,1[ e so già che converge uniformemente in [-k,k] per k>0 ?
Svolgendo l'esercizio mi sono venuti alcuni dubbi sui vari teoremi di convergenza.
Per esempio se in generale ho una serie di potenze di raggio $ rho=1 $ e centro $ x_0 $ e applico il teorema del raggio si ha che la serie converge assolutamente in $ ]x_0-rho,x_0+rho[ $ e totalmente in $ [x_0-k,x_0+k] $ per ogni $ k>0 $
Se dovessi studiare la convergenza assoluta della serie dovrei verificare tale convergenza anche in $ ]-oo ,x_0-rho[ $ e $ ]x_0+rho,oo [ $ ?
e lo stesso vale per la convergenza totale ?
Per esempio se in generale ho una serie di potenze di raggio $ rho=1 $ e centro $ x_0 $ e applico il teorema del raggio si ha che la serie converge assolutamente in $ ]x_0-rho,x_0+rho[ $ e totalmente in $ [x_0-k,x_0+k] $ per ogni $ k>0 $
Se dovessi studiare la convergenza assoluta della serie dovrei verificare tale convergenza anche in $ ]-oo ,x_0-rho[ $ e $ ]x_0+rho,oo [ $ ?
e lo stesso vale per la convergenza totale ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo