Convergenza serie di Fourier a coefficienti in l1
Buongiorno, sono nuovo del forum, spero di star postando nella sezione più appropriata e nel modo corretto, mi scuso in anticipo se così non fosse.
Sto studiando per un esame ed ho trovato una proposizione sulla dispensa la cui dimostrazione è lasciata per esercizio ma per il momento non sono stato in grado di fornire una dimostrazione, avrei bisogno di una mano almeno per capire se la strada è quella che ho provato ad intraprendere o se sono completamente fuori strada.
L'esame riguarda analisi di Fourier, in particolare in questa sezione della dispensa si stanno considerando le serie di Fourier nell'ambito degli spazi funzionali \(\displaystyle L^p \)
Questa è la proposizione:
Per ogni successione di coefficienti \(\displaystyle \{c_k\} \in \ell^1 \), la corrispondente serie di Fourier \(\displaystyle S_c = \sum_{k \in Z} c_k e^{ikt} \) converge uniformemente ad una funzione continua.
Ora la mia idea sarebbe:
Se non erro, per il teorema di convergenza di Dirichlet, se una funzione è continua con derivata almeno continua a tratti, allora la relativa serie di Fourier converge uniformemente.
Quindi devo trovare il modo di dire che il fatto che \(\displaystyle c = \{c_k\} \in \ell^1 \) implica che la relativa funzione è continua con derivata almeno continua a tratti.
Partirei dal fatto che considerando \(\displaystyle f \) \(\displaystyle 2 \pi \)-periodica:
\(\displaystyle c_k = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx} dx\)
immagino che dovrei essere in grado di dimostrare qualcosa come: il fatto che i coefficienti stiano in \(\displaystyle \ell^1 \) implica che \(\displaystyle f(x) e^{-ikx} \) sta in \(\displaystyle L^1 \).
Tralasciando che non credo che questo sia sufficiente per dire che la funzione \(\displaystyle f(x) e^{-ikx} \) è continua con derivata almeno continua, sarebbe un ragionamento che non riguarda la sola \(\displaystyle f(x) \) ma \(\displaystyle f(x) e^{-ikx} \).
Quindi mi viene il dubbio che non sia questa la strada.
Grazie in anticipo
Sto studiando per un esame ed ho trovato una proposizione sulla dispensa la cui dimostrazione è lasciata per esercizio ma per il momento non sono stato in grado di fornire una dimostrazione, avrei bisogno di una mano almeno per capire se la strada è quella che ho provato ad intraprendere o se sono completamente fuori strada.
L'esame riguarda analisi di Fourier, in particolare in questa sezione della dispensa si stanno considerando le serie di Fourier nell'ambito degli spazi funzionali \(\displaystyle L^p \)
Questa è la proposizione:
Per ogni successione di coefficienti \(\displaystyle \{c_k\} \in \ell^1 \), la corrispondente serie di Fourier \(\displaystyle S_c = \sum_{k \in Z} c_k e^{ikt} \) converge uniformemente ad una funzione continua.
Ora la mia idea sarebbe:
Se non erro, per il teorema di convergenza di Dirichlet, se una funzione è continua con derivata almeno continua a tratti, allora la relativa serie di Fourier converge uniformemente.
Quindi devo trovare il modo di dire che il fatto che \(\displaystyle c = \{c_k\} \in \ell^1 \) implica che la relativa funzione è continua con derivata almeno continua a tratti.
Partirei dal fatto che considerando \(\displaystyle f \) \(\displaystyle 2 \pi \)-periodica:
\(\displaystyle c_k = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx} dx\)
immagino che dovrei essere in grado di dimostrare qualcosa come: il fatto che i coefficienti stiano in \(\displaystyle \ell^1 \) implica che \(\displaystyle f(x) e^{-ikx} \) sta in \(\displaystyle L^1 \).
Tralasciando che non credo che questo sia sufficiente per dire che la funzione \(\displaystyle f(x) e^{-ikx} \) è continua con derivata almeno continua, sarebbe un ragionamento che non riguarda la sola \(\displaystyle f(x) \) ma \(\displaystyle f(x) e^{-ikx} \).
Quindi mi viene il dubbio che non sia questa la strada.
Grazie in anticipo
Risposte
La proposizione ti dice che quella serie converge ad una funzione continua, non che una funzione con coefficienti di Fourier sommabili è limite uniforme della propria serie di Fourier! La dimostrazione si fa semplicemente osservando che la serie converge totalmente (cioè la serie dei sup dei moduli è finita).
"Oznerol.92":
La proposizione ti dice che quella serie converge ad una funzione continua, non che una funzione con coefficienti di Fourier sommabili è limite uniforme della propria serie di Fourier! La dimostrazione si fa semplicemente osservando che la serie converge totalmente (cioè la serie dei sup dei moduli è finita).
Grazie per il chiraimento Ozenerol.92 !
Dunque abbiamo
\(\displaystyle {c_k} \in l^1 \)
quindi
\(\displaystyle \sum_{k =0}^{\infty} |c_k| < \infty \)
e
\(\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \cdot e^{ikt} \leq \sum_{k \in \mathbb{Z}} |c_k| \cdot e^{ikt} \leq 2\sum_{k \in \mathbb{N}} |c_k| < \infty \)
Durante lo svolgimento di alcuni esercizi ho trovato questa domanda:
Data \(\displaystyle f: R \rightarrow C \) continua a tratti, periodica e di periodo\(\displaystyle 2 \pi \) , \(\displaystyle {c_k} \) suoi coefficienti di Fourier, \(\displaystyle {c_k} \in l^p \) . Esiste p tale che la serie di Fourier relativa ai coefficienti \(\displaystyle {c_k} \) converga uniformemente?
Quindi anche in questo caso posso usare la proposizione precedente.
Non potrei se la domanda fosse:
" Esiste p tale che la serie di Fourier relativa ai coefficienti \(\displaystyle {c_k} \) converga uniformemente a \(\displaystyle f \)?" , giusto?
Grazie
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