Convergenza serie di Fourier

[previ91]

Ciao a tutti ,

purtroppo questa parte di programma è stata fatto un pò alla leggera all'ultimo momento e sono in grande difficoltà nel calcolare la convergenza della serie di Fourier. Vi scrivo un esercizio ad esempio :

Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione f pari, 2π-periodica, definita su [0, π] da f che vale 1 tra $[0,pi/2]$ e -1 tra $[pi/2 , pi]$. Precisare i punti nei quali la serie converge e la somma della serie.

Ammesso che riesca a scrivere la serie di Fourier a la somma della serie non so proprio come trattare la convergenza.

Nei pochi appunti che ci ha dato abbiamo trattato solo la convergenza puntuale.

Potete indirizzarmi con qualche spunto ? Grazie

[dissonance]

La serie di Fourier va scritta calcolando i coefficienti. Lo studio della convergenza e il calcolo della somma va fatto applicando un teorema classico, citato proprio di recente da Gugo (credo) qui sopra e che di sicuro tu hai sui tuoi appunti. Riguarda la convergenza delle serie di Fourier delle funzioni "regolari a tratti".

[Hadronen]

Oppure il buon Test di Weierstrass per la conv. uniforme/totale, che potrebbe sì fallire miseramente... ma... perché non provare ?

[dissonance]

"Hadronen":Oppure il buon Test di Weierstrass per la conv. uniforme/totale, che potrebbe sì fallire miseramente... ma... perché non provare ?

Noo, non c'entra niente. Come fa a convergere uniformemente, quella non è nemmeno una funzione continua. Gli addendi di una decomposizione di Fourier invece sono tutti continui.

Questo è un esercizio standard sul teorema classico di convergenza delle serie di Fourier.

[gugo82]

"previ91":Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione f pari, 2π-periodica, definita su [0, π] da f che vale 1 tra $[0,pi/2]$ e -1 tra $[pi/2 , pi]$. Precisare i punti nei quali la serie converge e la somma della serie.

La funzione \(f\) di cui cerchi l'espansione in serie è la seguente:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; line([-1.57,1],[1.57,1]); line([1.57,-1],[3.14,-1]); line([-1.57,-1],[-3.14,-1]); dot([-1.57,1]);dot([1.57,1]); dot([-3.14,-1]); dot([3.14,-1]);[/asvg]
prolungata per periodicità a tutto \(\mathbb{R}\).

La \(f\) soddisfa le condizioni di Dirichlet, ergo la sua serie di Fourier converge puntualmente verso:
\[
\begin{split}
\bar{f}(x) &:= \begin{cases} f(x) &\text{, se } f \text{ è continua in } x\\
\frac{1}{2} [f(x^+)+f(x^-)] &\text{, se } f \text{ non è continua in } x
\end{cases}\\
&= \begin{cases} f(x) &\text{, se } x\neq \pi/2 +k\pi \text{ con } k \in \mathbb{Z}\\
0 &\text{, se } x= \pi/2 +k\pi \text{ con } k \in \mathbb{Z}
\end{cases}
\end{split}
\]
e la convergenza è uniforme in ogni compatto che non contenga punti di discontinuità di \(f\).

[previ91]

Grazie ragazzi oggi darò l'esame di Analisi II e vedremo come andrà

[Hadronen]

"dissonance":[quote="Hadronen"]Oppure il buon Test di Weierstrass per la conv. uniforme/totale, che potrebbe sì fallire miseramente... ma... perché non provare ?

Noo, non c'entra niente. Come fa a convergere uniformemente, quella non è nemmeno una funzione continua. Gli addendi di una decomposizione di Fourier invece sono tutti continui.

Questo è un esercizio standard sul teorema classico di convergenza delle serie di Fourier.[/quote]

Vero. E' inutile provare infatti, in quanto discontinua... I coefficienti dovrebbero andare come $O(1/n)$ .