Convergenza serie con parametro

[Rebb10]

Ciao, ho dei dubbi su questo esercizio:
Stabilire per quali valori del parametro reale $p$ la serie
$\sum_{n=2}^oo (p^2 -2)^n [(n(1+n^(3/4)))/(2n-3)]^p$ converge assolutamente e per quali converge solo semplicemente.
Non so da dove cominciare...

[pilloeffe]

Ciao Rebb10,

Comincerei con l'osservare che il termine fra parentesi quadre è sempre positivo, mentre quello fra parentesi tonde può cambiare di segno ed è positivo o nullo per $p \le - sqrt{2} \vv p \ge sqrt{2} $. Proverei a vedere che cosa accade per $p = 0 $ e per $p < 0 $ e (quando la serie proposta è a termini positivi) farei uso del criterio del rapporto...

[Rebb10]

Ok grazie, quindi per p=0 risulta essere una serie oscillante, essendo $2(-1)^n$, che per $n$ pari è uguale a $2$ e $n$ dispari $-2$.
Per $p<0$ il termine tra parentesi tonde è sempre positivo, mentre quello tra quadre no, perche elevato a $-p$... ma ho difficoltà nel trattarlo...

[pilloeffe]

"Rebb10":Per $p < 0 $ il termine tra parentesi tonde è sempre positivo, mentre quello tra quadre no, perché elevato a $−p $...

Attenzione che ciò che hai scritto è falso: per $p < -\sqrt{2} $ il termine tra parentesi tonde è positivo, per $- \sqrt{2} < p <= 0 $ è negativo, così come è negativo per $0 <= p < \sqrt{2} $. Prova a vedere che cosa accade nei casi interessanti $p = \pm 1 $
Se $p < 0 $ il termine tra parentesi quadre dovrà essere invertito, ma rimane positivo...

[Rebb10]

la convergenza per $p>4/3$ può essere giusta?

[pilloeffe]

Non saprei, posta i passaggi del ragionamento che hai fatto che ci guardiamo. Tieni conto che naturalmente affinché vi sia convergenza deve essere soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n(p) = 0 $