Convergenza serie con parametro
Salve ragazzi, come avrete notato ho qualche problema con le serie, quindi vorrei risolverli con il vostro aiuto.
$sum_{n=1}^{infty} (n2^(xn)+sqrt(n))/(n^3+|x|)$
il limite di tale serie è infinito poiché l'esponenziale tende più velocemente a $+infty$
cosa dovrei fare ora?
$sum_{n=1}^{infty} (n2^(xn)+sqrt(n))/(n^3+|x|)$
il limite di tale serie è infinito poiché l'esponenziale tende più velocemente a $+infty$
cosa dovrei fare ora?
Risposte
Beh se il limite fosse sempre $+\infty$ allora avresti concluso, ma...considera bene come varia la $x$.
Tra l'altro, in che insieme si trova questa $x$? Andrebbe sempre specificato, altrimenti non è facile aiutarti.
Tra l'altro, in che insieme si trova questa $x$? Andrebbe sempre specificato, altrimenti non è facile aiutarti.
Purtroppo nella traccia dell'esercizio non c'era il dominio @Mephlip
Strano, o questo sottointende che il parametro può variare liberamente (quindi $x\in\mathbb{R}$) oppure l'esercizio è scritto proprio male.
Comunque, supponiamo che la richiesta dell'esercizio sia per $x\in\mathbb{R}$: che succede se $x=0$ e se $x<0$?
Comunque, supponiamo che la richiesta dell'esercizio sia per $x\in\mathbb{R}$: che succede se $x=0$ e se $x<0$?
@Mephlip beh se è $x<=0$ la serie potrebbe convergere altrimenti no.
però scusami ho sbagliato a vedere la traccia, la traccai vera è:$sum_{n=1}^{infty} (nx^(2n)+sqrt(n))/(n^3+|x|)$
purtroppo sono astigmatico, ma in questo caso ad occhio si vede perché l'unico modo in cui l'esponenziale potrebbe non tendere ad infinito è che $-1<=x<=1$ altrimenti per gerarchia degli infiniti la serie non potrebbe mai convergere
però scusami ho sbagliato a vedere la traccia, la traccai vera è:$sum_{n=1}^{infty} (nx^(2n)+sqrt(n))/(n^3+|x|)$
purtroppo sono astigmatico, ma in questo caso ad occhio si vede perché l'unico modo in cui l'esponenziale potrebbe non tendere ad infinito è che $-1<=x<=1$ altrimenti per gerarchia degli infiniti la serie non potrebbe mai convergere
Tranquillo, capita di sbagliare a leggere.
Quello che dici riguardo all'esponenziale è vero, perciò come ti comporti allora? Fammi una discussione fatta per bene
intendo, scrivimi per bene cosa succede per $x<-1\cupx>1$ e per $-1\leq x \leq1$.
Quello che dici riguardo all'esponenziale è vero, perciò come ti comporti allora? Fammi una discussione fatta per bene
intendo, scrivimi per bene cosa succede per $x<-1\cupx>1$ e per $-1\leq x \leq1$.
Per $x<1cupx>1$ il $lim_{ntoinfty} (x^(2n)+o(x^(2n)))/(n^3+o(n^3)) =+infty$ mentre per $-1<=x<=1$il $lim_{nto infty}(+-n+o(n))/(n^3+o(n^3))=0^+-$ quindi sono gli unici casi in cui la serie converge non so come altro spiegarlo
Okay, diciamo che la condizione necessaria di convergenza è quindi verificata solo per $-1 \leq x \leq 1$.
Attenzione però, che significa la serie converge? Forse intendi dire che la serie potrebbe convergere (è una condizione necessaria, non sufficiente).
Perciò ci mettiamo in $x\in[-1,1]$ e ora vogliamo capire che fa questa serie.
Ora che sappiamo l'intervallo in cui potrebbe convergere, visto che la tua domanda di partenza era cosa fare ti direi che puoi iniziare a passare in rassegna ai criteri che conosci e cercare di applicarne qualcuno per capire se c'è convergenza o divergenza.
Quale applicheresti? Una volta scelto, fatti un conto e scrivi pure quello che pensi sia successo (con i calcoli per favore, altrimenti difficilmente chi legge capisce gli errori).
Attenzione però, che significa la serie converge? Forse intendi dire che la serie potrebbe convergere (è una condizione necessaria, non sufficiente).
Perciò ci mettiamo in $x\in[-1,1]$ e ora vogliamo capire che fa questa serie.
Ora che sappiamo l'intervallo in cui potrebbe convergere, visto che la tua domanda di partenza era cosa fare ti direi che puoi iniziare a passare in rassegna ai criteri che conosci e cercare di applicarne qualcuno per capire se c'è convergenza o divergenza.
Quale applicheresti? Una volta scelto, fatti un conto e scrivi pure quello che pensi sia successo (con i calcoli per favore, altrimenti difficilmente chi legge capisce gli errori).
Criterio del rapporto:$lim_{ntoinfty}sum_{n=1}^infty (+-n+sqrt(n))/(n^3+-1)*(+-(n+1)^3+-1)/(+-(n+1)+sqrt(n+1)=0$
"Felix123321":
Criterio del rapporto:$lim_{ntoinfty}sum_{n=1}^infty (+-n+sqrt(n))/(n^3+-1)*(+-(n+1)^3+-1)/(+-(n+1)+sqrt(n+1)=0$
Occhio che nel criterio del rapporto il limite si fa solo della successione $a_n$ e non il limite della serie.
Comunque $|x|$ e $x^{2n}$ che fine hanno fatto?
Il limite va calcolato con $x$, non è che puoi farlo sparire a caso mettendo dei $\pm$ che dovrebbero indicare chissà cosa; credo intendessi dire che $x$ varia in $[-1,1]$, ma hai una potenza pari $2n$ e un valore assoluto....che poi $x$ prende valori in tutto l'intervallo $[-1,1]$, perché l'hai sostituita con gli estremi e basta?
Sapendo in che intervallo varia $x$ il limite va calcolato con $x$ presente e quando passerai al limite sai che tipo di comportamento avrà e trarrai le tue conclusioni.
Hai perfettamente ragione me ne sono reso conto subito di aver fatto una stupidata comunque l'ho rifatta subito e mi trovo perfettamente
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