Convergenza serie con logaritmo ed e
Ciao a tutti, volevo chiedervi una mano in questo esercizio:
Si discuta la convergenza della seguente serie.
$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\ [ nlog\sqrt{1+\frac{1}{n}} ](3n^{2}+n)e^{-n}$
grazie.
Si discuta la convergenza della seguente serie.
$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\ [ nlog\sqrt{1+\frac{1}{n}} ](3n^{2}+n)e^{-n}$
grazie.
Risposte
usa il criterio della radice. a me con questo la serie risulta convergente.
Ciao,
avevo pensato anche io al criterio della radice, ma il problema è che non riesco ad applicarlo.
se, per favore, me lo potrebbe spiegare.
avevo pensato anche io al criterio della radice, ma il problema è che non riesco ad applicarlo.
se, per favore, me lo potrebbe spiegare.
"insule15":
se, per favore, me lo potrebbe spiegare.
te lo spiego se non mi dai del "lei" :')
dobbiamo calcolare il seguente limite:
$ lim_(n->+oo) root(n)((-1/e)^n n(3n^2+n)logsqrt(1+1/n)) $
porto fuori il $-1/e$ e uso il trucco dell'esponenziale riconducendomi al seguente limite:
$ -1/elim_(n->+oo) e^(log( n(3n^2+n)logsqrt(1+1/n))/n) $
applicando le proprietà dei logaritmi ti riconduci ad avere tre somme con a numeratore un logaritmo che diverge ed a denominatore la n. dunque l'esponente va a zero e dunque l'esponenziale nel complesso viene 1.
quindi il limite cercato risulta $-1/e$ che essendo $<1$ garantisce la convergenza della serie di partenza.
perdonami, ma non sono riuscito a capire cosa ha fatto.
se è possibile rispiegarmelo.
grazie.
se è possibile rispiegarmelo.
grazie.
$ log( n(3n^2+n)logsqrt(1+1/n))/n=(log(n)+log(3n^2+n)+log(logsqrt(1+1/n)))/n$
dividendo la frazione hai:
1. $logn/n -> 0$ per $n->+oo$
2. $(log(3n^2+n))/n ->0$ per $n->+oo$
3. $(log(logsqrt(1+1/n)))/n -> 0$ per $n->+oo$
quindi
$e^( log( n(3n^2+n)logsqrt(1+1/n))/n) -> 1$ per $n->+oo$
e quindi l'intero limite fa $-1/e$
dividendo la frazione hai:
1. $logn/n -> 0$ per $n->+oo$
2. $(log(3n^2+n))/n ->0$ per $n->+oo$
3. $(log(logsqrt(1+1/n)))/n -> 0$ per $n->+oo$
quindi
$e^( log( n(3n^2+n)logsqrt(1+1/n))/n) -> 1$ per $n->+oo$
e quindi l'intero limite fa $-1/e$
@cooper: la serie è a termini di segno alterno, sarebbe più corretto studiare prima la serie dei valori assoluti, di termine generale
$$a_n=n(3n^2+n) e^{-n} \log\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\frac{n}{2}(3n^2+n) e^{-n} \log\left(1+\frac{1}{n}\right)$$
e poi guardare cosa succede a quella originale usando il criterio di Leibniz (se non si riesce a dedurre niente prima).
Comunque col criterio della radice si ottiene quello che hai detto (e si porta fuori $1/e$ perché i criteri di convergenza valgono per SERIE DI SEGNO COSTANTE!) e quindi si può concludere che, convergendo la serie dei valori assoluti, la serie converge uniformemente e, di conseguenza, la serie originale converge semplicemente.
$$a_n=n(3n^2+n) e^{-n} \log\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\frac{n}{2}(3n^2+n) e^{-n} \log\left(1+\frac{1}{n}\right)$$
e poi guardare cosa succede a quella originale usando il criterio di Leibniz (se non si riesce a dedurre niente prima).
Comunque col criterio della radice si ottiene quello che hai detto (e si porta fuori $1/e$ perché i criteri di convergenza valgono per SERIE DI SEGNO COSTANTE!) e quindi si può concludere che, convergendo la serie dei valori assoluti, la serie converge uniformemente e, di conseguenza, la serie originale converge semplicemente.
urca come hai ragione! 
avevo rimosso fosse solo per serie a segno costante! in effetti si deve studiare la convergenza assoluta. grazie per il rinfrescamento della memoria riguardo le ipotesi dei teoremi sulle serie! e mi scuso con l'autore del topic per la disattenzione.
avevo rimosso fosse solo per serie a segno costante! in effetti si deve studiare la convergenza assoluta. grazie per il rinfrescamento della memoria riguardo le ipotesi dei teoremi sulle serie! e mi scuso con l'autore del topic per la disattenzione.
Perdonatemi, ma alla fine come devo svolgere la serie.
Se è possibile farmi una ricapitolazione.
Grazie.
Se è possibile farmi una ricapitolazione.
Grazie.
devi fare come detto da ciampax: studi la serie dei moduli con il criterio della radice. prendendo il modulo si ha infatti che la serie diventa a segno costante e quindi diventa lecito usare il criterio della radice. con questo facendo il limite che ho spiegato prima (avendo però come risultato $1/e$) concludi che la serie converge assolutamente e dato che la convergenza assoluta implica quella semplice puoi concludere che la serie di partenza converge.
grazie mille 
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