Convergenza serie con log

[minomic]

Ciao a tutti! Devo determinare se converge la serie $ sum_(n = 1)^(oo) 1/(log(n^2+1)) $
Credo che dovrò usare uno dei due criteri del confronto ma non mi viene in mente nessuna serie con la quale confrontarla. Ho provato a dire che $ log (n^2+1) < n^2 + 1 rarr 1/(log(n^2+1)) > 1/(n^2+1) $ ma non si ricava niente. Come si può fare? Grazie.

[dissonance]

Invece di confrontare $log(n^2+1)$ e $n^2+1$, prova a confrontare $log(n^2+1)$ e $n+1$. Per $n$ sufficientemente grande, infatti, devi avere $log(n^2+1)<=n+1$, no? (Perché?)

[minomic]

ti dico la verità: non solo non so perchè hai fatto così (come viene in mente di confrontare con una cosa piuttosto che con un'altra?) ma non so neanche perchè quello che dici è vero...

[dissonance]

Non ti scoraggiare. All'inizio queste tecniche sembrano sempre conigli tirati fuori dal cilindro che magicamente risolvono il problema. Poi col tempo capisci il trucco e vedi che sono sempre le stesse quattro cose.

In primo luogo prova a calcolare $lim_{n \to \infty} \frac{log(n^2+1)}{n+1}$. Quanto fa? Che informazione ti fornisce, per $n$ sufficientemente grande?

In secondo luogo, qual è il carattere della serie $sum 1/(n+1)$?

[minomic]

ah ok grazie...adesso ho capito! ne approfitto per chiederti una serie con parametro:
$ sum_(n = 1)^(oo) x^n/(1+x^(2n)) $
per quali valori di x converge? Avevo pensato al creiterio della radice, ma sotto non viene niente. Con i criterio del rapporto la stessa cosa...