Convergenza serie con funzione ''floor''
salve ragazzi
ho trovato quest' esercizio e non ne sono riuscito a venire a capo in maniera formale anche se una mezza idea me la sono fatta
Siano $p$ e $q$ due numeri coprimi tra loro
allora la serie
$ sum ((-1)^([np/q])/n) $
dove [ ] rappresenta la parte intera
converge se $p$ è dispari e diverge in caso contrario
potreste darmi una mano?
ho trovato quest' esercizio e non ne sono riuscito a venire a capo in maniera formale anche se una mezza idea me la sono fatta
Siano $p$ e $q$ due numeri coprimi tra loro
allora la serie
$ sum ((-1)^([np/q])/n) $
dove [ ] rappresenta la parte intera
converge se $p$ è dispari e diverge in caso contrario
potreste darmi una mano?
Risposte
Partiamo dalla mezza idea e vediamo come completarla 
la mezza idea che mi ero fatto si basava su congetture direi abbastanza ''improprie'' 
Allora iniziamo con due scelte particolari e vediamo se salta all'occhio qualcosa.
Per $p/q=1/3$ i primi termini della serie sono \[ 1,\frac{1}{2},\frac{-1}{3},\frac{-1}{4},\frac{-1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{-1}{9},\frac{-1}{10},\frac{-1}{11},\frac{1}{12}\cdots \]
Per $p/q=2/3$ invece abbiamo \[ 1,\frac{-1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{-1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{-1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},\frac{-1}{11},\frac{1}{12}\cdots \]
Come potresti fare a stabilire che la prima serie converge e la seconda no?
Per $p/q=1/3$ i primi termini della serie sono \[ 1,\frac{1}{2},\frac{-1}{3},\frac{-1}{4},\frac{-1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{-1}{9},\frac{-1}{10},\frac{-1}{11},\frac{1}{12}\cdots \]
Per $p/q=2/3$ invece abbiamo \[ 1,\frac{-1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{-1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{-1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},\frac{-1}{11},\frac{1}{12}\cdots \]
Come potresti fare a stabilire che la prima serie converge e la seconda no?
la mezza idea che mi ero fatto è questa
scrivo la divisione come
$np=qQ+R$
dove $R$ è il resto e $Q$ la parte intera della divisione
se $p$ è pari allora $np$ è pari e dunque $Q$ ed $R$ possono essere o entrambi pari o entrambi dispari
nel caso $n$ multiplo di $q$ la successione fa sempre $1/n$ mentre per gli altri$n$ si presentano a ripetizione ciclica tutte le classi di resto da $1$ ad $p-1$ (se $p$ e $q$ sono coprimi)
queste sono le congetture da cui sono partito o meglio a cui sono arrivato e attraverso queste ho cercato di dimostrare convergenza/divergenza nei vari casi
scrivo la divisione come
$np=qQ+R$
dove $R$ è il resto e $Q$ la parte intera della divisione
se $p$ è pari allora $np$ è pari e dunque $Q$ ed $R$ possono essere o entrambi pari o entrambi dispari
nel caso $n$ multiplo di $q$ la successione fa sempre $1/n$ mentre per gli altri$n$ si presentano a ripetizione ciclica tutte le classi di resto da $1$ ad $p-1$ (se $p$ e $q$ sono coprimi)
queste sono le congetture da cui sono partito o meglio a cui sono arrivato e attraverso queste ho cercato di dimostrare convergenza/divergenza nei vari casi
Con la notazione che hai stabilito risulta $Q=[np/q]$. Se $Q$ è dispari, davanti a $1/n$ abbiamo un segno meno, altrimenti un segno più. La parità di $R$ non influisce su questo.
Cerchiamo di capire come si distribuiscono i segni meno e più. Giustamente osservi che se $p$ è pari, abbiamo un segno più quando $n$ è multiplo di $q$. Nel secondo esempio che ho fatto, $p$ è pari e la distribuzione di segni si ripete uguale ogni tre termini, e guarda caso $q=3$. Nel primo esempio invece la distribuzione di segni si ripete uguale solo ogni sei termini, ma $p$ è dispari. Possiamo intuire che per $p$ e $q$ generici la distribuzione avrà una certa periodicità? E, se sì, questa periodicità come sarà legata a $p$ e $q$?
Cerchiamo di capire come si distribuiscono i segni meno e più. Giustamente osservi che se $p$ è pari, abbiamo un segno più quando $n$ è multiplo di $q$. Nel secondo esempio che ho fatto, $p$ è pari e la distribuzione di segni si ripete uguale ogni tre termini, e guarda caso $q=3$. Nel primo esempio invece la distribuzione di segni si ripete uguale solo ogni sei termini, ma $p$ è dispari. Possiamo intuire che per $p$ e $q$ generici la distribuzione avrà una certa periodicità? E, se sì, questa periodicità come sarà legata a $p$ e $q$?
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