Convergenza serie con fattoriali
Ciao a tutti, sto studiando le serie a termini non negativi ma ho qualche difficoltà quando incontro successioni che contengono fattoriali.
Tra gli esercizi che mi è capitato di svolgere c'è questo:
(\(k!+2)/(k+2)! \)
a questo punto decido di applicare il criterio del rapporto, calcolo il limite per \(k \rightarrow infinity \)\(\frac{(k+1)!+2}{(k+3)!}* \frac{(k+2)!}{k!+2} \)
A questo punto se non ho capito male posso scrivere (\(k+3)!=(k+3)*((k+2)*(k+1)*k! \) e (\(k+2)!=((k+2)*(k+1)*k! \)
quindi semplifico e ottengo
\(\frac{(k+1)!+2}{(k+3)(k!+2)} \) e non so come continuare, dove sbaglio?
Tra gli esercizi che mi è capitato di svolgere c'è questo:
(\(k!+2)/(k+2)! \)
a questo punto decido di applicare il criterio del rapporto, calcolo il limite per \(k \rightarrow infinity \)\(\frac{(k+1)!+2}{(k+3)!}* \frac{(k+2)!}{k!+2} \)
A questo punto se non ho capito male posso scrivere (\(k+3)!=(k+3)*((k+2)*(k+1)*k! \) e (\(k+2)!=((k+2)*(k+1)*k! \)
quindi semplifico e ottengo
\(\frac{(k+1)!+2}{(k+3)(k!+2)} \) e non so come continuare, dove sbaglio?
Risposte
Benvenuto nel forum!
non ho molta dimestichezza con questi argomenti, per cui prendi il suggerimento con cautela, ma a me verrebbe spontaneo separare in due addendi i singoli termini:
$(k!+2)/((k+2)!)=(k!)/((k+2)!)+2/((k+2)!)=1/((k+1)*(k+2))+2/((k+2)!)$
pensa anche se siete abituati a "spezzare" le serie in questo modo oppure no.
ciao
non ho molta dimestichezza con questi argomenti, per cui prendi il suggerimento con cautela, ma a me verrebbe spontaneo separare in due addendi i singoli termini:
$(k!+2)/((k+2)!)=(k!)/((k+2)!)+2/((k+2)!)=1/((k+1)*(k+2))+2/((k+2)!)$
pensa anche se siete abituati a "spezzare" le serie in questo modo oppure no.
ciao
Esatto, accodandomi al suggerimento di ada segnalo che
$$\frac{k!}{(k+2)!} = \frac{1}{(k+1)(k+2)}+\frac{2}{(k+2)!}$$
comporta che si abbia $0\leq \frac{k!+2}{(k+2)!}\leq \frac{3}{(k+1)^2}$, dunque che la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k!+2}{(k+2)!}$ converga per il criterio del confronto.
E' addirittura possibile calcolarla esattamente:
$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k!}{(k+2)!} = \sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)+2\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(k+2)!} = 1 + 2\left(e-2\right) = 2e-3.$$
$$\frac{k!}{(k+2)!} = \frac{1}{(k+1)(k+2)}+\frac{2}{(k+2)!}$$
comporta che si abbia $0\leq \frac{k!+2}{(k+2)!}\leq \frac{3}{(k+1)^2}$, dunque che la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k!+2}{(k+2)!}$ converga per il criterio del confronto.
E' addirittura possibile calcolarla esattamente:
$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k!}{(k+2)!} = \sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)+2\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(k+2)!} = 1 + 2\left(e-2\right) = 2e-3.$$
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