Convergenza serie con arctg e log
Ciao a tutti, volevo chiedervi una mano in questo esercizio:
Si discuta la convergenza della seguente serie.
$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n [ log ( 1+arctg\frac{1}{n} ) ](3^n+n)n^{-n}$
ho pensato di svolgerlo con il criterio di Leibniz, oppure studiano la convergenza assoluto e applicare il criterio della radice.
ma il mio problema è che non riesco ad applicarli nella serie.
se ,per favore,mi potete dare una mano
grazie.
Si discuta la convergenza della seguente serie.
$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n [ log ( 1+arctg\frac{1}{n} ) ](3^n+n)n^{-n}$
ho pensato di svolgerlo con il criterio di Leibniz, oppure studiano la convergenza assoluto e applicare il criterio della radice.
ma il mio problema è che non riesco ad applicarli nella serie.
se ,per favore,mi potete dare una mano
grazie.
Risposte
Ciao insule15,
Non so se hai sbagliato a scrivere o è una "trappola", ma $(- 1)^2 = 1 $, per cui la serie è a termini positivi...
Comunque si risolve abbastanza agevolmente con gli sviluppi asintotici:
$arctan(1/n)$ [tex]\sim[/tex] $1/n $
$log(1 + 1/n) $ [tex]\sim[/tex] $1/n $
$vdots$
Non so se hai sbagliato a scrivere o è una "trappola", ma $(- 1)^2 = 1 $, per cui la serie è a termini positivi...
Comunque si risolve abbastanza agevolmente con gli sviluppi asintotici:
$arctan(1/n)$ [tex]\sim[/tex] $1/n $
$log(1 + 1/n) $ [tex]\sim[/tex] $1/n $
$vdots$
Ciao,
si ho sbagliato a scrivere e ho modificato il post.
Ora mi puoi dare una mano spiegandomi come fare per studiare la convergenza.
Grazie.
si ho sbagliato a scrivere e ho modificato il post.
Ora mi puoi dare una mano spiegandomi come fare per studiare la convergenza.
Grazie.
Prova a vedere la convergenza assoluta, cioè a studiare la serie seguente:
$sum_{n=1}^{\infty }[log(1 + arctan(1/n))](3^n+n)n^{-n} $
Dovresti trovare che converge, quindi...
$sum_{n=1}^{\infty }[log(1 + arctan(1/n))](3^n+n)n^{-n} $
Dovresti trovare che converge, quindi...
Allora come hai detto tu,
abbiamo che:
$arctg\frac{1}{n}~\frac{1}{n}$
quindi possiamo scrivere la serie come:
$\sum\frac{log(1+\frac{1}{n})(3^n+n) }{n}=$
$=(\frac{3}{n})^n\frac{1}{n}log(1+\frac{1}{n})^n+(\frac{1}{n})^n log(1+\frac{1}{n})^n $
Ora non riesco ad applicare il criterio della radice.
Se per favore, mi puoi dare una mano.
grazie.
abbiamo che:
$arctg\frac{1}{n}~\frac{1}{n}$
quindi possiamo scrivere la serie come:
$\sum\frac{log(1+\frac{1}{n})(3^n+n) }{n}=$
$=(\frac{3}{n})^n\frac{1}{n}log(1+\frac{1}{n})^n+(\frac{1}{n})^n log(1+\frac{1}{n})^n $
Ora non riesco ad applicare il criterio della radice.
Se per favore, mi puoi dare una mano.
grazie.
No, non ci sei...
Facendo uso delle stime asintotiche già menzionate in un mio post precedente, si trova
$ sum_{n=1}^{\infty }[log(1 + arctan(1/n))](3^n+n)n^{-n}$ [tex]\sim[/tex] $ sum_{n=1}^{\infty }(1/n)(3^n+n)n^{-n} = sum_{n=1}^{\infty }(3^n+n)n^{-n - 1} = sum_{n=1}^{\infty }frac{3^n+n}{n^{n + 1}} $
Posto $a_n := frac{3^n+n}{n^{n + 1}} $, applicando il criterio del rapporto all'ultima serie scritta, dopo qualche calcolo si trova
$lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = 0 $
dal che si deduce la convergenza assoluta della serie e quindi la convergenza semplice della serie iniziale proposta.
Facendo uso delle stime asintotiche già menzionate in un mio post precedente, si trova
$ sum_{n=1}^{\infty }[log(1 + arctan(1/n))](3^n+n)n^{-n}$ [tex]\sim[/tex] $ sum_{n=1}^{\infty }(1/n)(3^n+n)n^{-n} = sum_{n=1}^{\infty }(3^n+n)n^{-n - 1} = sum_{n=1}^{\infty }frac{3^n+n}{n^{n + 1}} $
Posto $a_n := frac{3^n+n}{n^{n + 1}} $, applicando il criterio del rapporto all'ultima serie scritta, dopo qualche calcolo si trova
$lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = 0 $
dal che si deduce la convergenza assoluta della serie e quindi la convergenza semplice della serie iniziale proposta.
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