Convergenza serie complessa
Salve a tutti, sto tentando di fare esercizi sulle serie di funzioni complesse, ma ho qualche problemino e pertanto chiedo il vostro aiuto che mi ha sempre salvato in tempi di crisi come questo 
Per descrivervi il problema vi propongo questa serie:
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{2^k} \)
allora, questa è una serie di potenze centrata nell'origine. So quindi che esiste il raggio di convergenza, ed essendo
\(\displaystyle \lim {\sqrt[k] {\frac{1}{2^k}}} = \frac{1}{2} \)
esso è pari a 2.
Quindi un teorema studiato mi assicura che la serie converge puntualmente all'interno della palla di centro O e raggio 2, totalmente (e quindi uniformemente) in ogni palla chiusa di raggio più piccolo di 2, e diverge all'infuori della circonferenza. Adesso vorrei studiare la convergenza sui punti di bordo della circonferenza... Ma come faccio? So che non è banale farlo in generale, ma dipende caso per caso... Quello che sempre posso fare però è studiare la serie dei moduli, che è una serie di numeri reali e in questo caso è la serie \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^k} =\)\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty 1 \) che diverge, e quindi so che la serie di partenza non converge assolutamente, ma questo non implica che essa non possa convergere uniformemente o puntualmente, giusto? Grazie in anticipo!!
Per descrivervi il problema vi propongo questa serie:
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{2^k} \)
allora, questa è una serie di potenze centrata nell'origine. So quindi che esiste il raggio di convergenza, ed essendo
\(\displaystyle \lim {\sqrt[k] {\frac{1}{2^k}}} = \frac{1}{2} \)
esso è pari a 2.
Quindi un teorema studiato mi assicura che la serie converge puntualmente all'interno della palla di centro O e raggio 2, totalmente (e quindi uniformemente) in ogni palla chiusa di raggio più piccolo di 2, e diverge all'infuori della circonferenza. Adesso vorrei studiare la convergenza sui punti di bordo della circonferenza... Ma come faccio? So che non è banale farlo in generale, ma dipende caso per caso... Quello che sempre posso fare però è studiare la serie dei moduli, che è una serie di numeri reali e in questo caso è la serie \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^k} =\)\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty 1 \) che diverge, e quindi so che la serie di partenza non converge assolutamente, ma questo non implica che essa non possa convergere uniformemente o puntualmente, giusto? Grazie in anticipo!!
Risposte
Mannaggia, sulla tesi della magistrale ho scritto - oramai mi sono laureato non frega a nessuno! - che se $lim_(n->\infty) \root(n)(a_n) = l$ la serie converge per $|z|>1/l$. 
... e sta pure pubblicata qua sulla sezione delle tesi...!
Comunque,
non so se non ho capito io, ma comunque il lemma di Abel ti assicura che la serie converge assolutamente, uniformemente e puntualmente in ogni disco chiuso contenuto nel disco aperto di raggio $2$. Il fatto che non converge nel bordo, comunque, non vuol dire che non valga il lemma di Abel.
... e sta pure pubblicata qua sulla sezione delle tesi...!
Comunque,
"Rosy1993":
Quello che sempre posso fare però è studiare la serie dei moduli, che è una serie di numeri reali e in questo caso è la serie \( \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^k} = \)\( \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 1 \) che diverge, e quindi so che la serie di partenza non converge assolutamente, ma questo non implica che essa non possa convergere uniformemente o puntualmente, giusto? Grazie in anticipo!!
non so se non ho capito io, ma comunque il lemma di Abel ti assicura che la serie converge assolutamente, uniformemente e puntualmente in ogni disco chiuso contenuto nel disco aperto di raggio $2$. Il fatto che non converge nel bordo, comunque, non vuol dire che non valga il lemma di Abel.
Scusa ma ciò che hai detto:
non è la stessa cosa che ho detto io?
Il comportamento della serie dentro e fuori la circonferenza quindi l'ho determinato, il problema è proprio studiare la convergenza sui punti della circonferenza!
"Zero87":
il lemma di Abel ti assicura che la serie converge assolutamente, uniformemente e puntualmente in ogni disco
chiuso contenuto nel disco aperto di raggio $2$. Il fatto che non converge nel bordo, comunque, non vuol dire che non valga il lemma di Abel.
non è la stessa cosa che ho detto io?
"Rosy1993":
Quindi un teorema studiato mi assicura che la serie converge puntualmente all'interno della palla di centro O e raggio 2, totalmente (e quindi uniformemente) in ogni palla chiusa di raggio più piccolo di 2, e diverge all'infuori della circonferenza.
Il comportamento della serie dentro e fuori la circonferenza quindi l'ho determinato, il problema è proprio studiare la convergenza sui punti della circonferenza!
In effetti adesso stavo notando che nella domanda:
non sono stata molto precisa... allora io vado a studiare la serie dei moduli perchè il modulo di tutti i punti che si trovano sulla circonferenza è uguale al raggio, cioè a 2. Una volta stabilito che tale serie diverge trovo che la serie di partenza \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{2^k} \) sul bordo del disco non converge assolutamente... e non ho nessun altro tipo di informazione per capire se converge o diverge (sempre sul bordo)!!
"Rosy1993":
Quello che sempre posso fare però è studiare la serie dei moduli, che è una serie di numeri reali e in questo caso è la serie \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^k} =\)\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty 1 \) che diverge, e quindi so che la serie di partenza non converge assolutamente, ma questo non implica che essa non possa convergere uniformemente o puntualmente, giusto? Grazie in anticipo!!
non sono stata molto precisa... allora io vado a studiare la serie dei moduli perchè il modulo di tutti i punti che si trovano sulla circonferenza è uguale al raggio, cioè a 2. Una volta stabilito che tale serie diverge trovo che la serie di partenza \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{2^k} \) sul bordo del disco non converge assolutamente... e non ho nessun altro tipo di informazione per capire se converge o diverge (sempre sul bordo)!!
Allora, vediamo di riordinare le idee. 
Hai sostituito $z=2$, in pratica $z$ con il suo modulo al bordo. Se la serie numerica converge allora converge anche in tutta la circonferenza perché se non erro la convergenza assoluta implica la convergenza generica.
Nel tuo caso, sostituendo $z=2$ la serie non converge. Può capitare - e purtroppo capita - che la serie converga in alcuni punti della circonferenza e in altri no. Nel corso di analisi complessa la prof si limitò ad accennare che
$\sum_(n=1)^\infty z^n /n$
converge per $|z|<1$ ma nel bordo diverge se $z=1$ anche se converge in tutti gli altri punti.
Poi lasciò perdere ma a distanza di due anni, ora che mi ci fai pensare, aspetto anche io qualche risposta da utenti tecnici per vedere se esiste qualche metodo esplicito per calcolare il comportamento di una serie al bordo.
Hai sostituito $z=2$, in pratica $z$ con il suo modulo al bordo. Se la serie numerica converge allora converge anche in tutta la circonferenza perché se non erro la convergenza assoluta implica la convergenza generica.
Nel tuo caso, sostituendo $z=2$ la serie non converge. Può capitare - e purtroppo capita - che la serie converga in alcuni punti della circonferenza e in altri no. Nel corso di analisi complessa la prof si limitò ad accennare che
$\sum_(n=1)^\infty z^n /n$
converge per $|z|<1$ ma nel bordo diverge se $z=1$ anche se converge in tutti gli altri punti.
Poi lasciò perdere ma a distanza di due anni, ora che mi ci fai pensare, aspetto anche io qualche risposta da utenti tecnici per vedere se esiste qualche metodo esplicito per calcolare il comportamento di una serie al bordo.
Già è questo il punto, eppure nelle prove scritte la mia prof chiede esplicitamente di determinare la convergenza sul bordo; certo per alcune (quelle in cui appunto si ha la convergenza assoluta) può risultare abbastanza semplice, ma in generale questo è un problema che va risolto volta per volta... Comunque la serie l'ho presa dalle dispense della prof Lanzara http://www1.mat.uniroma1.it/people/lanz ... enseAC.pdf e la soluzione (pagina 54, esercizio 2.5.1 a) )dice che "La serie non converge in alcun punto z : jzj = 2 perchè non e verifi cata la C.N. per la convergenza delle serie:
\(\displaystyle \lim |a_{k}z^{k}| = 1 \neq 0 \)"
Però io non sono d'accordo su questa affermazione, per gli stessi motivi che ho detto prima, cioè che non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie per il modulo di a_k ho che la serie non può convergere assolutamente ma potrebbe convergere ad esempio puntualmente!!! Oppure il mio ragionamento è sbagliato?
Posso chiederti su quale libro studiavi analisi complessa? E se per caso conosci qualche eserciziario? In biblioteca purtroppo non ho trovato nulla, e la professoressa ha detto che effettivamente non ci sono molti libri che trattano esercizi su quest'argomento! Scusa per le mille domande e grazie
\(\displaystyle \lim |a_{k}z^{k}| = 1 \neq 0 \)"
Però io non sono d'accordo su questa affermazione, per gli stessi motivi che ho detto prima, cioè che non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie per il modulo di a_k ho che la serie non può convergere assolutamente ma potrebbe convergere ad esempio puntualmente!!! Oppure il mio ragionamento è sbagliato?
Posso chiederti su quale libro studiavi analisi complessa? E se per caso conosci qualche eserciziario? In biblioteca purtroppo non ho trovato nulla, e la professoressa ha detto che effettivamente non ci sono molti libri che trattano esercizi su quest'argomento! Scusa per le mille domande e grazie
"Rosy1993":
Però io non sono d'accordo su questa affermazione, per gli stessi motivi che ho detto prima, cioè che non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie per il modulo di a_k ho che la serie non può convergere assolutamente ma potrebbe convergere ad esempio puntualmente!!! Oppure il mio ragionamento è sbagliato?
Secondo me il tuo ragionamento non è sbagliato, proprio perché esistono serie che convergono in alcuni punti del bordo e in altri no. Posso dire che fino ad ora ho visto che tali serie sono solo quelle che hanno qualche $(-1)^n$ che cambia segno di continuo, ma ciò non esclude - vista la "pochezza" delle mie conoscenze - che possono essercene altre.
"Rosy1993":
Posso chiederti su quale libro studiavi analisi complessa? E se per caso conosci qualche eserciziario? In biblioteca purtroppo non ho trovato nulla, e la professoressa ha detto che effettivamente non ci sono molti libri che trattano esercizi su quest'argomento! Scusa per le mille domande e grazie
Eserciziario, sinceramente no, anche perché non ho avuto nemmeno voglia di cercarlo poiché la prof. ci sommergeva lei stessa di esercizi.
Il libro è "Ahlfors, complex analysis" che la prof. seguiva di pari passo (l'ho letto più per la tesi che per il corso), so che è un classico ma di esercizi ce ne sono pochini. Dal momento che a quasi un anno dalla tesi inizio a dimenticare pressoché qualsiasi cosa, prima di fare danni segnalo
viewtopic.php?f=17&t=104585
in cui c'era proprio un intervento più lucido - parlo di me! - sui testi di analisi complessa.
Ti ringrazio tantissimo, ho dato un'occhiata al post che mi hai suggerito e ho trovato il libro della collana schaum per gli esercizi, anche se devo dire che questa cosa di non trovare un eserciziario mi turba avendo visto che per la preparazione di Analisi 1 e Analisi 2 ce n'erano a non finire :/
Speriamo che qualcuno risolva almeno il problema di questa serie, altrimenti al ricevimento dalla mia prof le darò filo da torcere
Grazie ancora
Speriamo che qualcuno risolva almeno il problema di questa serie, altrimenti al ricevimento dalla mia prof le darò filo da torcere
Grazie ancora
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