Convergenza serie (cerco 2 esempi base)

[Giova411]

Perfavore mi fate un esempio di una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie. Cioé un esempio dove mostra che non è sufficiente.

E poi, visto che ci siete, un esempio di condizione sufficiente ma non necessaria per la convergenza di una serie... Ossia un esempio dove mostra che non è necessaria...

Non ne vengo fuori se non ho questi esempi... Sul libro propone quest'esercizio ma forse non ho capito fino in fondo il concetto...

Vi ringrazio tanto,
buona giornata!

[_luca.barletta]

data una serie $sum_(n=0)^(+infty) a_n$, una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza è $lim_(nrarr+infty) a_n=0$, ad es. la serie armonica $a_n=1/n$ rispetta la cond necessaria ma non converge.

[_luca.barletta]

una condizione sufficiente ma non necessaria per la convergenza ad es. è il criterio del rapporto, lascio a te trovare un es. che mostri la non necessarietà

[Giova411]

Il primo caso grazie al tuo intervento mi è chiarissimo. Ma al secondo non ci arrivo. Ok che potrebbe essere il criterio del rapporto ma non mi viene un esempio che mostri la condizione sufficiente e non necessaria... Meccanicamente (un pochetto) lo so applicare il criterio del rapporto ma.. niente.

[_luca.barletta]

per il secondo prova a prendere una serie convergente per cui $lim_(n->+infty) (a_(n+1))/a_n=1$

[_Tipper]

Una condizione sufficiente ma non necessaria è anche l'assoluta convergenza, ovvero se una serie converge assolutamente converge anche semplicemente, ma non è vero il contrario, ad esempio:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}$

converge semplicemente ma non assolutamente.

[Giova411]

Non so se va bene: $sum_(n=1)^(oo) 1/(n^2)$ che sicuro converge ma la somma non è 1

Grazie raga...
Mi sa che vado a rileggere un'altra volta quelle pagine del libro della convergenza assoluta...

[_luca.barletta]

non la somma 1, il limite del rapporto è 1; sì, mi riferivo a quella; comunque l'esempio di Tipper è più adatto allo scopo