Convergenza serie armonica con criterio del confronto

[aziarg]

Salve a tutti.

In un esercizio del testo di analisi 2 che sto seguendo mi e' richiesto di provare che la serie armonica generalizzata

$ sum_(n = \1)^(oo) 1/n^p $

converge per p > 2 e diverge per p < 1 utilizzando specificatamente il criterio del confronto.

Come sempre con questo criterio il problema e' trovare la funzione da confrontare. Ho provato con

$ log (1 + 1/n) <= 1/n $

e cercando di riformulare la

$ n^2 >= n(n-1) $

ma non riesco a venirne a capo. Qualche consiglio?

[phigreco1]

Sia:

$ sum_(n = \1)^(oo) 1/n^p AA n>=1 $

[*:2bwq4jtm]$p=1$

$ sum_(n = \1)^(oo) 1/n$

Assodato che:
$ 1/n >= log (1 + 1/n) $

E' possibile applicare il teorema del confronto e studiare:

$ sum_(n = \1)^(oo) log (1 + 1/n)$

Quella data è una serie telescopica in quanto pari a $ sum_(n = \1)^(oo) log ((n + 1)/n) = sum_(n = \1)^(oo) log(n+1)- log(n)$ e la cui somma n-esima è pari a: $ S_n=log(n+1) -> +oo$ per $n->+oo$
Dunque:

$ sum_(n = \1)^(oo) 1/n$ diverge per il teorema del confronto

[/*:m:2bwq4jtm]
[*:2bwq4jtm]$0
$1/n<=1/n^p=>$ teorema del confronto $=>sum_(n = \1)^(oo) 1/n$ diverge $=>sum_(n = \1)^(oo) 1/n^p$ diverge per $0 [/*:m:2bwq4jtm]
[*:2bwq4jtm]$p=2$

$ sum_(n = \1)^(oo) 1/n^2$

Teorema del confronto: $1/n^2<=1/(n(n-1)$
$ sum_(n = \1)^(oo) 1/(n(n-1)) = sum_(n = \1)^(oo) 1/n - 1/(n-1)$ dunque è telescopica
$S_n=1-1/n ->1$ per $n->oo$


$=> sum_(n = \1)^(oo) 1/n^2$ converge per il teorema del confronto

[/*:m:2bwq4jtm]
[*:2bwq4jtm]$p>=2$
$1/n^p<=1/n^2 =>$ teorema del confronto $=>sum_(n = \1)^(oo) 1/n^2$ converge $=>sum_(n = \1)^(oo) 1/n^p$ converge per $p>=2$[/*:m:2bwq4jtm][/list:u:2bwq4jtm]

Spero di essere stato chiaro e di non aver dimenticato nulla

[aziarg]

Grazie mille, super esaustivo. Obbiettivamente era molto ovvio per $ p > 2 $.