Convergenza serie armonica a segni alterni

[anto_zoolander]

Dopo anni ho rivisto la dimostrazione di $sum_(n=1)^(infty)(-1)^n/n=-log(2)$
La dimostrazione che ho visto è quella di Wikipedia, dove secondo me usa la convergenza uniforme a sproposito o quantomeno non è giustificata. Quindi ho cercato di rifarla passo per passo

Ora sappiamo che $s_k(x)=sum_(n=1)^(k)x^(n-1)->1/(1-x)$ uniformemente in(particolare) $[t,0]$ con $t in(-1,0)$ e in particolare $f_n(x)=x^(n-1)$ è continua in $[t,0]$ per ogni $n in NN^(+)$ fissato.
Quindi $s_k(x)$ è continua per ogni $k$ fissato in $[t,0]$, integrabile, e vale:

$sum_(n=1)^(infty)int_(t)^(0)x^(n-1)dx=int_(t)^(0)sum_(n=1)^(infty)x^(n-1)dx,forall t in(-1,0)$

Da cui si ottiene $sum_(n=1)^(infty)t^n/n=-log(1-t),forall t in(-1,0)$

$lim_(t->-1)sum_(n=1)^(infty)t^n/n=-log(2)$

È chiaro che il problema sta nel poter passare il limite sotto il simbolo di serie, ma come conviene fare?
Quell’uguaglianza ci dice che $s_k(t)=sum_(n=1)^(k)t^n/n$ converge puntualmente a $-log(1-t)$ in $(-1,0)$ quindi se riuscissi a mostrare che la convergenza sia uniforme potrei concludere subito. Oppure c’è qualche teorema o qualche banalità a che non ho studiato o a cui non ho fatto caso?

[Bremen000]

Non ho guardato la tua dimostrazione ma ti dico che un modo immediato per farla è usare la convergenza monotona (o teorema di Beppo Levi, che era uno dei nostri), quindi sicuramente c'è un teorema che non hai studiato che aiuta!

[dissonance]

Oppure si può usare questo teorema:

https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem

Tutte le volte che ho visto applicare questo teorema c'era sempre una soluzione alternativa usando il teorema di Beppo Levi. Mi chiedo se sia possibile dimostrare il teorema di Abel usando Beppo Levi. Probabilmente si può a patto che i coefficienti abbiano tutti lo stesso segno o qualche ipotesi del genere