Convergenza serie

[melli13]

Per quali $a>0$ converge la seguente serie?

$\sum_{n=1}^oo 1/(n^a+(-1)^(n+1)n^(2a))$

Io ho spezzato in questo modo la serie:

$\sum_{n=0}^oo 1/((2n+1)^a+(2n+1)^(2a))$+$\sum_{n=1}^oo 1/((2n)^a-(2n)^(2a))$

Va bene? Poi ho pensato:
$1/((2n+1)^a+(2n+1)^(2a))$~$1/(2n)^(2a)$ e $\sum_{n=0}^oo 1/(2n)^(2a)$ converge per $a>1/2$
$1/((2n)^a-(2n)^(2a))$~$-1/(2n)^(2a)$ e $\sum_{n=0}^oo -1/(2n)^(2a)$ converge per $a>1/2$

E quindi la serie di partenza converge per $a>1/2$
Sbaglio qualcosa in questo ragionamento o può andare? Grazie...

[gugo82]

Non si può "spezzettare" una serie così a caso, senza prima aver determinato se essa è incondizionatamente convergente (infatti, uno spezzettamento del genere equivale a fare un riordinamento degli addendi della serie; e una tale operazione, come dovrebbe essere universalmente noto, non sempre conserva la somma e nemmeno la convergenza di una serie).

Ad ogni modo, visto che \(2a>a\), gli addendi della serie sono asintoticamente equivalenti a \(1/n^{2a}\), perciò...

[melli13]

Quindi $1/(n^a+(-1)^(n+1)n^(2a))$~$(-1)^(n+1)1/n^(2a)$
Per il criterio di Leibniz la serie $\sum_{n=1}^oo (-1)^(n+1)1/n^(2a)$=$\sum_{n=2}^oo (-1)^(n)1/(n-1)^(2a)$converge $ AA a>0$ perchè:
- $|1/(n-1)^2a|>= |1/n^a$| $AA a>0$
- $\lim_{n \to \infty} |1/(n-1)^(2a)|=0$ $AA a>0$

Quindi la serie è convergente $AA a>0$?

Grazie @gugo82..Hai ragione....le serie non possono essere riordinate.

[gugo82]

No.
Non ha alcun senso applicare Leibniz in quel modo.
Devi prendere i valori assoluti: il criterio del confronto asintotico è un criterio di convergenza assoluta.

[melli13]

Quindi devo studiare la convergenza di $\sum_{n=1}^oo |(-1)^(n+1)1/n^(2a)|$=$\sum_{n=1}^oo 1/n^(2a)$ che sarebbe la serie armonica generalizzata e converge quando $a>1/2$.
E' così?