Convergenza serie

[albireo1]

Ho qualche problema nel trovare la convergenza di questa serie:

$ \sum_{n=1}^{\infty} ( (1+n|x|^n)^{1/n}-1) $

-Per $x=0$ la serie è identicamente nulla, quindi converge;
-Per $|x|>1$ si ha

$ \lim_{n} ((1+n|x|^n)^{1/n}-1)=\lim_{n} ((n|x|^n)^{1/n}-1)=|x|-1 $ che non tende a 0 per cui non si ha convergenza;

-Per $|x|< 1$:

$ \lim_{n} ((1+n|x|^n)^{1/n}-1)=\lim_{n} (1^{1/n}-1)=0 $ quindi c'è possibilità che converga.

Come si può procedere ora per provare se in questo caso la serie converge o no? Ho provato in svariati modi ma non riesco a venirne a capo. Stesso problema per $|x|=1$
Suggerimenti?

[theras]

Ciao!
A me par che possa dirsi come,$AAx inRR$,si abbia che $1+n|x|^n>=1$ $AAn inNNrArr$
$(1+n|x|^n)^(1/n)<=1+n|x|^n$ $AAn inNNrArr(1+n|x|^n)^(1/n)-1<=n|x|^n$ $AAn inNN$:
se poi,come nel tuo caso,$x in(-1,1)$,
potrai concludere cose per te interessanti miscelando il criterio del confronto "originario" e quello di D'Alambert..
Per il caso |x|=1 posti i tuoi tentativi,prima di confrontarci sulla possibile risoluzione del problema?
Saluti dal web.

[albireo1]

Ok, a questo punto quindi la serie iniziale è minorata con la serie

$ \sum n|x|^n $ che converge perchè è a termini positivi ed è infinitesima di ordine comunque grande, giusto?

Per quanto riguarda il caso $ |x|=1 $ ho provato soprattutto a cercare di sfruttare il criterio del confronto, ma senza risultati...idee?

[totissimus]

Dalla disuguaglianza \( (1+\frac{1}{n})^n \leq e \leq 3\leq 1+n\) per \( n \geq 2\)segue:
\( \sqrt[n]{1+n} -1\geq \frac{1}{n} \) quindi .....

[albireo1]

...quindi per |x|=1 la serie diverge perchè minorata dalla serie armonica $ \sum 1/n $ che diverge
Grazie dell'ottima idea!