Convergenza serie
ho la seguente serie, devo studiarne la convergenza:
$\sum_{n=0}^oo (sin n -2cos(2n))/2^n$
può convergere perchè la successione è infinitesima. la serie non è a termini positivi, poichè si può avere $2cos(2n)>sin n$ uguale ad un numero negativo. pertanto applico il criterio dell'assoluta convergenza: se converge assolutamente, allora la serie converge. ora, come faccio a vedere se converge assolutamente? applico i criteri per le serie a termini positivi alla serie:
$\sum_{n=0}^oo |(sin n -2cos(2n))/2^n|$?? io ho fatto in questo modo, applicando il criterio del rapporto alla serie col valore assoluto:
$lim_(n->oo) ((sin (n+1) -2cos(2(n+1)))/2^(n+1))((2^n)/(sin n -2cos2n))= 1/2$, $1/2<1$, dunque converge assolutamente. è esatto?anche il procedimento, è corretto semplificare $(sin (n+1) -2cos(2(n+1)))$ con $(sin n -2cos2n)$ considerando $n->oo$??
$\sum_{n=0}^oo (sin n -2cos(2n))/2^n$
può convergere perchè la successione è infinitesima. la serie non è a termini positivi, poichè si può avere $2cos(2n)>sin n$ uguale ad un numero negativo. pertanto applico il criterio dell'assoluta convergenza: se converge assolutamente, allora la serie converge. ora, come faccio a vedere se converge assolutamente? applico i criteri per le serie a termini positivi alla serie:
$\sum_{n=0}^oo |(sin n -2cos(2n))/2^n|$?? io ho fatto in questo modo, applicando il criterio del rapporto alla serie col valore assoluto:
$lim_(n->oo) ((sin (n+1) -2cos(2(n+1)))/2^(n+1))((2^n)/(sin n -2cos2n))= 1/2$, $1/2<1$, dunque converge assolutamente. è esatto?anche il procedimento, è corretto semplificare $(sin (n+1) -2cos(2(n+1)))$ con $(sin n -2cos2n)$ considerando $n->oo$??
Risposte
Non credo, altrimenti avresti potuto tirare conclusioni simili su $2^(n+1) / 2^n$.
EDIT: perché non provi a trovare un sup della differenza che hai al numeratore? In quel caso penso sarebbe molto facile concludere.
EDIT: perché non provi a trovare un sup della differenza che hai al numeratore? In quel caso penso sarebbe molto facile concludere.
Io semplicemente direi che:
$\sum_(n=0)^oo (sin(n)-2cos(2n))/2^n < \sum_(n=0)^oo (n-2cos(2n))/2^n $ che converge.
$\sum_(n=0)^oo (sin(n)-2cos(2n))/2^n < \sum_(n=0)^oo (n-2cos(2n))/2^n $ che converge.
"giuscri":
EDIT: perché non provi a trovare un sup della differenza che hai al numeratore? In quel caso penso sarebbe molto facile concludere.
avevo già provato in questo modo, mi veniva fuori $sup=|3|=3$, e avevo pensato di confrontarlo con una serie geometrica, ma senza giungere a conclusioni. non ho comunque ben capito l'errore nel mio ragionamento...
"Hadronen":
Io semplicemente direi che:
$\sum_(n=0)^oo (sin(n)-2cos(2n))/2^n < \sum_(n=0)^oo (n-2cos(2n))/2^n $ che converge.
si, vero, questo è semplice ed efficace. ma nonostante sia più prolisso, volevo sapere se era corretto un ragionamento simile al mio.
Il ragionamento mi sembra corretto, riguardo la convergenza assoluta; non capisco molto quel limite pero'... Non capisco cosa hai dovuto semplificare... ( "E' corretto semplificare ?" ... Cosa ? )
"Hadronen":
Il ragionamento mi sembra corretto, riguardo la convergenza assoluta; non capisco molto quel limite pero'... Non capisco cosa hai dovuto semplificare... ( "E' corretto semplificare ?" ... Cosa ? )
semplificare $(sin (n+1) -2cos(2(n+1)))$ con $(sin n -2cos2n)$ ... comunque la diseguaglianza da te proposta è valida solo da $n=1$ in poi, mentre la serie parte da $n=0$: è comunque valida in quanto la diseguaglianza nel criterio del confronto deve essere valida definitivamente, cioè non necessariamente per tutti gli $n$, ma basta da un certo $n$ in poi, giusto??
"ride":
[quote="giuscri"]
EDIT: perché non provi a trovare un sup della differenza che hai al numeratore? In quel caso penso sarebbe molto facile concludere.
avevo già provato in questo modo, mi veniva fuori $sup=|3|=3$, e avevo pensato di confrontarlo con una serie geometrica, ma senza giungere a conclusioni.[/quote]
Perché $3$ ?
- $\max{sin(n)} = 1$, mentre $\min{cos(2n)}=0$.[/list:u:3fooa0na]
Dovresti poter scrivere:
- ${"Termine generale della serie"} ≤ 1 / 2^n$[/list:u:3fooa0na]
Da quì concludi. No?
non ho comunque ben capito l'errore nel mio ragionamento...
EDIT: su quest'ultima parte sono un po' insicuro, e spero che qualcuno completi questa discussione. Credevo ci fosse un'errore perché pensavo che:
- $lim_(n->infty) (2^(n+1) / 2^n) -> 1$:[/list:u:3fooa0na]
un erroraccio, scusami.
Resto comunque dell'idea che non sia la strada giusta: ora non vorrei dire l'ultima cavolata ma dato che le due funzioni $sinn$ e $cosn$ oscillano (non hanno limite a $+infty$), non dovresti riuscire a concludere che $sinn \sim sin(n+1)$ (leggi: non puoi semplificare). Ma a questo punto, prendi con le pinze quello che ti dico.
"giuscri":[/quote][/quote]
[quote="ride"][quote="giuscri"]
Quello che dicevo è: "perché non semplifichi anche $2^(n+1)$ con $2^n$ ?", infatti
$lim_(n->infty) (2^(n+1) / 2^n ) -> 1$[/list:u:2tbaytr1]
Ma il criterio da te usato restituirebbe $1$, -che non ha nessuna informazione sul carattere della serie numerica. Non mi sembra la strada giusta, però forse mi sbaglio.
ma è l'inverso, cioè $2^n/2^(n+1)$ se non erro... dunque $1/2$, come ho detto, e quindi l'informazione sul carattere ce l'ho..
"giuscri":[/quote][/quote]
Perché $3$ ?
$\max{sin(n)} = 1$, mentre $\min{cos(2n)}=0$.[/list:u:2slv4cbi]
scusami, il coseno assume valori nell'intervallo $[-1,1]$, dunque il minimo valore assunto da $cos2n$ è $-1$, mentre il massimo è $+1$, considerando che abbiamo $-2cos2n$, il massimo valore si ha per $cos2n=-1$ ed è $2$. pertanto $sin n-2cos2n$ assume come valore massimo 3. considerando che sto studiando l'assoluta convergenza, anche il minimo valore $-3$, essendo in valore assoluto è $3$. cosa sbaglio?
"ride":
ma è l'inverso, cioè $2^n/2^(n+1)$ se non erro... dunque $1/2$, come ho detto, e quindi l'informazione sul carattere ce l'ho..
Ho modificato, leggi sopra
"ride":
scusami, il coseno assume valori nell'intervallo $[-1,1]$, dunque il minimo valore assunto da $cos2n$ è $-1$, mentre il massimo è $+1$, considerando che abbiamo $-2cos2n$, il massimo valore si ha per $cos2n=-1$ ed è $2$. pertanto $sin n-2cos2n$ assume come valore massimo 3. considerando che sto studiando l'assoluta convergenza, anche il minimo valore $-3$, essendo in valore assoluto è $3$. cosa sbaglio?
Faccio l'ultimo tentativo, altrimenti rischio di confonderti le idee con tutti gli errori che sto facendo. Da capo, guardando solo al numeratore del termine generale:
- $|sin(n) - 2cos(2n)| ≤ |sin(n)| + |-2cos(2n)| = |sin(n)| + |2cos(2n)| ≤ 3$[/list:u:37kxxxn6]
(Quindi, avevi ragione tu sul $3$).
- $\Rightarrow \sum_(n=0) ^ infty (sin(n) - 2cos(2n))/(2^n)$[/list:u:37kxxxn6]
- $≤$ $\sum_(n=0) ^ infty 3/(2^n)$[/list:u:37kxxxn6]
- $≤$ $\sum_(n=0) ^ infty$ $ 1 / (n^2) $ $= S$ $< infty$[/list:u:37kxxxn6]
Mi auguro almeno di non aver fatto tanto casino senza poi concludere niente.
umh okok! dovrebbe andare bene così!
"ride":
:D umh okok! dovrebbe andare bene così!
Bene!
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