Convergenza serie

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Sto cercando di trovare l'insieme di convergenza della serie $\sum_{n=1}^{oo}(n!)/((n+1)^n)(x+2)^n$. Il raggio direi che sia $\lim_{n} (n!)/(n+1)^n (n+2)^(n+1)/((n+1)!)=e$ e quindi vorrei determinare se in $x=+-e-2$ la serie converge o no.
A occhio ho l'impressione che la successione $((e^n n!)/(n+1)^n)_{n in NN}$ sia una buona candidata a divergere, rendendo quindi il limite all'infinito del termine generale non nullo e la serie perciò non convergente, ma non saprei come calcolare questo limite con fattoriali e potenze (so che $AA x >0" "lim_{n \to +oo} (n!)/x^n=+oo$, ma qui la situazione è più complicata)...
Qualcuno sarebbe così buono da suggerirmi qualcosa...?
$+oo$ grazie a tutti!!!

[WalterLewin90]

Solitamente con i fattoriali il criterio del rapporto aiuta parecchio...

[DavideGenova1]

Grazie per il suggerimento! Però mi sa che qui $lim_{n \to +oo} |((n+1)!(+-e)^(n+1))/(n+2)^(n+1) (n+1)^n/(n!(+-e)^n)|=1$... e quindi è l'unico caso in cui il criterio del rapporto non ci dà indicazioni...
Grazie comunque!!!

[gugo82]

Confronto asintotico usando l'approssimazione di Stirling:
\[
n!\approx \sqrt{2\pi}\ n^{n-1/2}\ e^{-n}\ldots
\]

[WalterLewin90]

Ottima idea. Ne propongo un'altra.
Confrontare la successione $a(n)$ con $ (n!)/(n+1)^n$
Essendo che $ (n!)/(n+1)^n$ tende a più infinito (criterio rapporto), essendo $a > di (n!)/(n+1)^n $ diverge anch'essa.

[gugo82]

"WalterLewin90":Essendo che $ (n!)/(n+1)^n$ tende a più infinito

Ciò è clamorosamente falso.

[WalterLewin90]

"gugo82":[quote="WalterLewin90"]Essendo che $ (n!)/(n+1)^n$ tende a più infinito

Ciò è clamorosamente falso.[/quote]

Chiedo venia. la giornata di studio si fa sentire.

[DavideGenova1]

$+oo$ grazie!!! A tutti e due!
Scusate se rispondo solo adesso, ma era un po' che non guardavo la posta elettronica e mi erano sfuggite le vostre risposte...