Convergenza serie

[etta.nico]

Sia, $AA j in NN$, $f_j: RR^2 -> RR$ definita da $f_j(x,y) = (2j*arctan^2(x))/(1+e^j * arctan^2(xy))$
Determinare l'insieme $S$ dei punti £(x,y) in $RR^2$ per cui la serie $ Sigma_(j=0)^(oo) f_j(x,y) $ converge.

Guardo il limite $ lim_(j rarr (oo)) (2j*arctan^2(x))/(1+e^j * arctan^2(xy))$ e vedo quando non converge ma come faccio?
al numeratore ho $arctan^2(x)$ e al denominatore $ arctan^2(xy)$ che mi mandano in crisi...

[Giuly191]

Potrei sbagliarmi, ma gli unici punti in cui vedo problemi sono quelli della retta $y=0$.

[ciampax]

Dal limite per [tex]$j\to\infty$[/tex] ricavi che

[tex]$f_j(x,y)\sim\left\{\begin{array}{lll}
\displaystyle\frac{\arctan^2(x)}{\arctan^2(xy)}\cdot\frac{j}{e^j} & & xy\ne 0\\ & & \\
0 & & x=0\\ & & \\ \arctan^2(x)\cdot j & & y=0
\end{array}\right.$[/tex]

Nei primi due casi, per [tex]$j\to\infty,\ f_j(x,y)\to 0$[/tex], nel terzo caso invece [tex]$f_j(x,y)\to+\infty$[/tex] (escludendo il caso $x=0$ che è incluso nel secondo). Quindi la serie potrebbe convergere per tutti i punti $(x,y)$ con entrambe le coordinate non nulle e per $(0,y)$, con $y$ qualsiasi, mentre sicuramente non converge per i punti dell'asse delle ascisse ($y=0$).

Ma a questo punto dovrai usare qualche criterio per determinare se c'è convergenza. Idee?