Convergenza serie
Ciao ragazzi,sono nuovo del forum e volevo chiedervi un parere su questa serie con an= $ sen^2 (3^n/(4^n+n^2))$
Io ho concluso che è convergente con comportamente asintotico pari a $(3/4)^n$
mi potete dire se nello svolgimento di questo esercizio va considerato il $sen^2 x$ in valore assoluto? è stato un esercizio di esame e mi hanno dato 0 punti..
Grazie in anticipo.
Io ho concluso che è convergente con comportamente asintotico pari a $(3/4)^n$
mi potete dire se nello svolgimento di questo esercizio va considerato il $sen^2 x$ in valore assoluto? è stato un esercizio di esame e mi hanno dato 0 punti..
Grazie in anticipo.
Risposte
"ale.b":
... e $4^n$ va all'infinito più velocemente di $3^n$, quindi tutta la frazione se ne va a 0!
si ma la ragione q è pari a 3/4 ^n
e che c'entra?? ora si parla semplicemente di successioni! se ti metti in discussione forse ne caviamo qualcosa, altrimenti è inutile...
ma ho chiesto qui perchè non è giusto il mio ragionamento..cerca di convincermi
Risolviamo innanzi tutto la questione di quest'ultimo limite:
$\lim_{n \to infty}\frac{3^n}{4^n+n^2}=0$ perchè $\frac{3^n}{4^n+n^2}\le\frac{3^n}{4^n}=(\frac{3}{4})^n$ e l'ultima successione è esponenziale con base positiva e minore di 1 quindi il tutto va a zero.
Ora, poichè $\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$, risulta anche $\lim_{n \to infty}\frac{sin(frac{3^n}{4^n+n^2})}{\frac{3^n}{4^n+n^2}}=1$.
Quindi, elevando tutto alla seconda trovi: $\lim_{n \to infty}\frac{sin^2(frac{3^n}{4^n+n^2})}{(\frac{3^n}{4^n+n^2})^2}=1$.
Ovvero, $sin^2(frac{3^n}{4^n+n^2})$ è asintotico a $(\frac{3^n}{4^n+n^2})^2$ che a sua volta è asintotico a $(\frac{9}{16})^n$.
Ci sei??
$\lim_{n \to infty}\frac{3^n}{4^n+n^2}=0$ perchè $\frac{3^n}{4^n+n^2}\le\frac{3^n}{4^n}=(\frac{3}{4})^n$ e l'ultima successione è esponenziale con base positiva e minore di 1 quindi il tutto va a zero.
Ora, poichè $\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$, risulta anche $\lim_{n \to infty}\frac{sin(frac{3^n}{4^n+n^2})}{\frac{3^n}{4^n+n^2}}=1$.
Quindi, elevando tutto alla seconda trovi: $\lim_{n \to infty}\frac{sin^2(frac{3^n}{4^n+n^2})}{(\frac{3^n}{4^n+n^2})^2}=1$.
Ovvero, $sin^2(frac{3^n}{4^n+n^2})$ è asintotico a $(\frac{3^n}{4^n+n^2})^2$ che a sua volta è asintotico a $(\frac{9}{16})^n$.
Ci sei??
"ale.b":
Risolviamo innanzi tutto la questione di quest'ultimo limite:
$\lim_{n \to infty}\frac{3^n}{4^n+n^2}=0$ perchè $\frac{3^n}{4^n+n^2}\le\frac{3^n}{4^n}=(\frac{3}{4})^n$ e l'ultima successione è esponenziale con base positiva e minore di 1 quindi il tutto va a zero.
Ora, poichè $\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$, risulta anche $\lim_{n \to infty}\frac{sin(frac{3^n}{4^n+n^2})}{\frac{3^n}{4^n+n^2}}=1$.
Quindi, elevando tutto alla seconda trovi: $\lim_{n \to infty}\frac{sin^2(frac{3^n}{4^n+n^2})}{(\frac{3^n}{4^n+n^2})^2}=1$.
Ovvero, $sin^2(frac{3^n}{4^n+n^2})$ è asintotico a $(\frac{3^n}{4^n+n^2})^2$ che a sua volta è asintotico a $(\frac{9}{16})^2$.
Ci sei??
si..e quindi?
Ma come "e quindi?"???? Se il termine generico della serie è asintotico a $(\frac{9}{16})^n$, non può essere asintotico a $(\frac{3}{4})^n$, quindi hai sbagliato...
"ale.b":
Ma come "e quindi?"???? Se il termine generico della successione è asintotico a $(\frac{9}{16})^n$, non può essere asintotico a $(\frac{3}{4})^n$, quindi hai sbagliato...
ah si ecco..grazie..ho capito..ciao
"robertobelve":Speriamo. Ma in tutta franchezza, nonostante l'ottima spiegazione precisa e puntuale di ale.b, non credo. Devi impegnarti di più sugli esercizi, riflettere in maniera più profonda: porti domande e sforzarti di cercare risposte. Tu invece vai cercando la rispostina pronta e purtroppo questo approccio non ti farà imparare molta matematica.
ho capito
Va bene, comunque questo era solo un consiglio. A risentirci sul forum!
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